21/05/2013 2:39:24 PM

Bạn đang ở: Trang chủ / Bài giảng / Giải tích / Bài tập về cực trị của hàm số

Bài tập về cực trị của hàm số

 

[tab name='Lý thuyết']

Trong các kỳ thi TN THPT và thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng, bài toán liên quan đến cực trị hàm số thường có các dạng sau:

Dạng 1. Sử dụng Qui tắc 1 và Qui tắc 2 để tìm cực trị của hàm số.
Đối với dạng này, học sinh chỉ cần nắm vững Qui tắc 1 và Qui tắc 2 dưới đây là có thể làm được bài.
Qui tắc 1.
- Tìm TXĐ.
- Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)=0 hoặc không xác định.
- Xét dấu đạo hàm. Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra cực trị.
Qui tắc 2.
- Tìm TXĐ
- Tính f'(x). Giải PT f'(x)=0 và kí hiệu x_i, (i=1,2,\ldots,n) là các nghiệm của nó.
- Tính f''(x) và f''(x_i).
- Dựa vào dấu của f''(x_i) suy ra cực trị.

Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu tại) tại điểm x=x_0 nào đó.
Cách giải:
Bước 1 (Điều kiện cần): Giả sử hàm số đạt cực trị tại x=x_0, suy ra f'(x_0)=0, từ đó tìm được tham số m.
Bước 2 (Điều kiện đủ): Với mỗi giá trị của m tìm được ở Bước 1, thử lại xem x_0 có đúng là điểm cực trị theo yêu cầu không.
Bước 3. Kết luận.
Chú ý: 1) Có thể dùng Qui tắc 1 hoặc Qui tắc 2 để kiểm tra trong Bước 2.
2) Một số lời giải sai lầm là không tách ĐK cần, ĐK đủ ra mà dùng trực tiếp Qui tắc 2, chẳng hạn hàm số đạt cực đại tại x=x_0 khi và chỉ khi \left\{\begin{array}{l} f'(x_0)=0 \\ f''(x_0)<0 \\ \end{array}\right. là lời giải sai. Ví dụ như hàm y=x^4 đạt cực tiểu tại x=0, nhưng f'(0)=f''(0)=0.

Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn thêm một vài điều kiện.
Dạng này mức độ khó hơn Dạng 1 và 2 rất nhiều, nên thường chỉ xuất trong các kì thi Đại học, cao đẳng. Chúng tôi sẽ nói đến trong một bài giảng thuộc Chuyên đề luyện thi Đại học sau.

[/tab]

[tab name='Các ví dụ']

Một số ví dụ
Ví dụ 1. Áp dụng qui tắc 1, tìm cực trị của hàm số sau:
y=\sqrt{x^2-x+1}

Lời giải
TXĐ: D=\mathbb{R}, vì x^2-x+1>0,\forall x\in \mathbb{R}
y'=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}, xác định với mọi x\in \mathbb{R}
y'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}
BBT

Hàm số đạt cực tiểu tại x=\dfrac{1}{2}, y_{ct}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Ví dụ 2. Áp dụng qui tắc 2, tìm cực trị hàm số:
y=x^5-x^3-2x+1

Lời giải
TXĐ: D=\mathbb{R}
y'=5x^4-3x^2-2, xác định với mọi x\in \mathbb{R}
y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \\ \end{array}\right.
y''=20x^3-6x; y''(-1)=-14<0; y''(1)=14>0
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, đạt cực tiểu tại x=1

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số y=x^3-mx^2-2x+1 luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Lời giải
TXĐ: D=\mathbb{R}
y'=3x^2-2mx-2
\Delta'=m^2+6>0 với mọi m. Do đó y'=0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm với mọi m. Suy ra hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Ví dụ 4. Xác định m để hàm số y=\dfrac{x^2+mx+1}{x+m} đạt cực đại tại x=2.

Lời giải
TXĐ: D=\mathbb{R}\setminus \{-m\}
y'=\dfrac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m)^2} xác định với mọi x\neq -m
ĐK cần: Hàm số đạt cực đại tại x=2\Rightarrow y'(2)=0\Leftrightarrow m^2+4m+3=0\Leftrightarrow m=-1;m=-3
ĐK đủ: Với m=-1, y'=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}
BBT


Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại x=2. Do đó m=-1 không là giá trị cần tìm
Với m=-3; y'=\dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}

Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại x=2
Kết luận: m=-3

[/tab]

[tab name='Bài tập']

Bài tập đề nghị
Bài 1. Tìm cực trị các hàm số:
a) y=\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+3x-1
b) y=\dfrac{x^2-3x+3}{x-1}
c) y=x\sqrt{4-x^2}
d) y=x-\sin 2x+2
Bài 2. Tìm m để hàm số y=x^3-3mx^2+(m^2-1)x+2 đạt cực tiểu tại x=2.
Bài 3. Tìm m để hàm số y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-(m^2-1) đạt cực đại tại x=1.

[/tab]

[end_tabset]

PDF    Chia sẻ hoặc lưu trữ bài viết dưới định dạng file PDF:   
Mục: Giải tích Đăng bởi 3 phản hồi 03/07/2011 2:26:38 AM

Danh sách các phản hồi:

  1. phuong quynh viết:
    10/07/2012 9:53:31 AM at 9:53 am

    mjh giaj roi ma muon so sanh ket qua? kam on ban

    Reply
  2. phuong quynh viết:
    09/07/2012 2:57:35 PM at 2:57 pm

    sao khong cho loi giai?

    Reply

Công thức toán trên mathblog.org được gõ theo cú pháp: [latex] công thức[/latex] , ở đó "công thức" được viết dạng mã LaTeX. Nếu bạn chưa biết về LaTeX hãy click vào đây để xem hướng dẫn. Hoặc đơn giản hơn bạn có thể sử dụng công cụ tạo công thức trực tiếp trong khung dưới theo cách sau:
Bước 1. Bấm vào nút công thức cần viết, trong khung chữ nhật phía dưới sẽ hiện mã LaTeX của công thức và hình ảnh kết quả bên cạnh.
Bước 2. Sau khi soạn xong công thức, copy toàn bộ đoạn mã LaTeX trong khung chữ nhật và dán vào khung nội dung phản hồi. Chú ý là đặt công thức giữa hai thẻ [latex] ... [/latex]

Phản hồi của bạn

*

Đăng ký hiện ảnh đại diện khi gửi phản hồi tại đây

Bài viết cùng chuyên mục

Trang chủ | Giới thiệu | Liên hệ | Hỏi đáp | Sơ đồ trang | Đọc tin RSS