Bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

[tab name='Lý thuyết']

A. Kiến thức lý thuyết cần nắm vững:
1. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến: Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f(x)$ xác định trên $K$ . Ta nói
Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $K$ nếu với mọi $x_1,x_2\in K$ mà $x_1<x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$
Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $K$ nếu với mọi $x_1,x_2\in K$ mà $x_1<x_2$ thì $f(x_1)>f(x_2)$ .
2. Định lý 1 (Về điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên một tập).
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $K$ .
a) Nếu $f'(x)>0$ với mọi $x\in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$ ;
b) Nếu $f'(x)<0$ với mọi $x\in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$ ;
c) Nếu $f'(x)=0$ trên $K$ thì $f(x)$ là hàm hằng trên $K$ .
3. Định lý 2 (Mở rộng của Định lý 1).
Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $K$ . Nếu $f'(x)\geq 0$ (tương ứng, $f'(x)\leq 0$ ), với mọi $x\in K$ và dấu bằng chỉ xẩy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc $K$ thì hàm số đồng biến (tương ứng, nghịch biến) trên $K$ .
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
Bước 1. Tìm TXĐ
Bước 2. Tính đạo hàm $f'(x)$ , tìm các điểm mà tại đó $f'(x)=0$ hoặc không xác định (Các điểm này ta sẽ gọi là các điểm tới hạn của hàm số).
Bước 3. Xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
B. Một số chú ý
1. Trong việc xét dấu đạo hàm, ta cần ôn lại các kiến thức về Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất, Định lý về dấu của tam thức bậc hai, và Phương pháp khoảng. Cụ thể:
a) Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức $f(x)=ax+b, (a\neq 0)$ . Nhị thức có nghiệm $x=\dfrac{-b}{a}$ .
$f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x>\dfrac{-b}{a}$ , $f(x)$ trái dấu với $a$ với mọi $x< \dfrac{-b}{a}$ (“trái trái, phải cùng”).

b) Dấu của tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c, (a\neq 0), \Delta=b^2-4ac$ .

- Nếu $\Delta<0$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

- Nếu $\Delta=0$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x\neq \dfrac{-b}{2a}$

- Nếu $\Delta>0$ thì $f(x)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ và dấu theo qui tắc trong trái, ngoài cùng.
c) Phương pháp khoảng: Các điểm tới hạn của hàm số chia tập xác định thành các khoảng mà trên đó $f'(x)$ luôn mang cùng một dấu. Do đó để biết dấu trên khoảng nào, ta chỉ cần thay giá trị đại diện của khoảng đó để biết dấu. Dùng qui tắc đan dấu để chỉ phải xét dấu một khoảng và từ đó suy ra các khoảng còn lại.
2. Nhờ vào Định lý 2, đôi khi ta cần mở rộng tập được xét như trong Ví dụ 3 dưới đây.

[/tab]

[tab name='Các ví dụ']

C. Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) $y=4+3x-x^2;$
b) $y=\dfrac{1}{3}x^3+3x^2-7x-2;$
c) $y=x^4-2x^2+3$ .
Lời giải:
a) $y=4+3x-x^2$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=3-2x$ , xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$
$y'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$
BBT

Từ bảng BT suy ra hàm số ĐB trên $(-\infty;3/2)$ , NB trên $(3/2;+\infty)$

b) $y=\dfrac{1}{3}x^3+3x^2-7x-2$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=x^2+6x-7$ , xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$
$y'=0\Leftrightarrow x=1;x=-7$
$y'>0\Leftrightarrow x\in (-\infty;-7)\cup (1;+\infty)$
$y'<0\Leftrightarrow x\in (-7;1)$
BBT

Hàm số ĐB trên các khoảng $(-\infty;-7)$ và $(1;+\infty)$
Hàm số NB trên $(-7;1)$

c) $y=x^4-2x^2+3$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=4x^3-4x$ , xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$
$y'=0\Leftrightarrow x=0;x=\pm 1$
$y'>0\Leftrightarrow x\in (-1;0)\cup (1;+\infty)$
$y'<0\Leftrightarrow x\in (-\infty;-1)\cup (0;1)$
BBT

Hàm số ĐB trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$
Hàm số NB trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a) $y=\dfrac{3x+1}{1-x}$ ;
b) $y=\dfrac{x^2-2x}{1-x}$ ;
c) $y=\sqrt{x^2-x-20}$ .

Lời giải
a) $y=\dfrac{3x+1}{1-x}$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$
$y'=\dfrac{4}{(1-x)^2}>0$ với mọi $x\neq 1$
BBT

Hàm số ĐB trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;\infty)$

b) $y=\dfrac{x^2-2x}{1-x}$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$
$y'=\dfrac{-x^2+2x-2}{(1-x)^2}<0$ với mọi $x\neq 1$
BBT

Hàm số NB trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$

c) $y=\sqrt{x^2-x-20}$
TXĐ: $D=(-\infty;-4]\cup [5;+\infty)$
$y'=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-20}}$ , xác định trên $(-\infty;-4)\cup (5;+\infty)$
$y'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$
$y'>0\Leftrightarrow x>5;y'<0\Leftrightarrow x< -4$
BBT

Hàm số ĐB trên $(5;+\infty)$ , NB trên $(-\infty;-4)$

Ví dụ 3. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) $\tan x>x$ với mọi $x\in (0;\pi/2)$ ;
b) $\tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$ với mọi $x\in (0;\pi/2)$ .

Lời giải
a) $\tan x>x$ với mọi $x\in (0;\pi/2)$
Xét hàm số $f(x)=\tan x-x$ trên $([0;\pi/2)$
$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\tan^2x\geq 0$ với mọi $x\in [0;\pi/2)$
Suy ra hàm số $f(x)$ ĐB trên $[0;\pi/2)$ . Do đó $f(x)>f(0)=0$ với mọi $x\in (0;\pi/2)$ (ĐPCM)

b) $\tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$ với mọi $x\in (0;\pi/2)$
Xét hàm số $f(x)=\tan x-x-\dfrac{x^3}{3}$ trên $[0;\pi/2)$
$f'(x)=(\tan x+x)(\tan x-x)\geq 0$ với mọi $x\in [0;\pi/2)$ (theo 1.)
Suy ra $f(x)$ ĐB trên $[0;\pi/2)$
Do đó $f(x)>f(0)=0$ trên $[0;\pi/2)$ (đpcm)

[/tab]

[tab name='Bài tập']

D. Bài tập đề nghị
1. Xét sự ĐB NB của các hàm số sau:
a) $y=2x^3+3x^2+1$
b) $y=x^4-2x^2-5$
c) $y=\sqrt{4-x^2}$
d) $y=\dfrac{x-2}{x+2}$
2. Tìm $a$ để hàm số sau ĐB trên $\mathbb{R}$ :
$y=\dfrac{1}{3}x^3+ax^2+4x+3$
3. Chứng minh các BĐT:
a) $\sin x<x, \forall x>0$
b) $\sin x>x,\forall x<0$
c) $\sin x+\tan x>2x,\forall x\in(0;\pi/2)$

Tải bài giảng: Bài tập giải tích 12 tiết 1

[/tab]

[end_tabset]

Danh sách các phản hồi:

son kim viết:

14/03/2013 8:19:57 PM at 8:19 pm

thay oi giup em cau nay nhe
bai1:Cho ham so:x^3-3x^2+mx^2=m
Tim m de do thi ham socuc dai va cuc tieu de a;b doi xung nhau qua duong thang y=1\2x-5\2

châu bá tùng viết:

15/11/2012 11:32:43 AM at 11:32 am

xét chiều biến của [latex]y= m^{2}x^{4}- 2x^{2}+m (m\neq 0) [\latex]

châu bá tùng viết:

15/11/2012 11:26:02 AM at 11:26 am

giải dùm em câu này được không ạ: xét chiều biến thiên của : y=m^{2}x^{4}- 2x^{2}+m (m\neq 0)

Pn Trang viết:

15/10/2012 8:27:48 PM at 8:27 pm

thầy ơi. tại sao từ f(x)thầy lại tỳm được f’(x) ạ??? thầy chỉ giùm em với được không???

nguyen anh quoc viết:

02/09/2012 3:45:43 PM at 3:45 pm

giai dup em vs thay:)

vic to ri viết:

20/08/2012 9:42:18 PM at 9:42 pm

that su minh thay trang web nay kha hay co the tu hox duoc.

- kvthanh viết:
  
  20/08/2012 11:31:34 PM at 11:31 pm
  
  Cảm ơn bạn đã động viên,
  
  - nguyễn đức việt viết:
    
    23/08/2012 1:55:31 PM at 1:55 pm
    
    thầy ơi cho e hỏi đều kiện để hàm số tăng hoặc giảm trên khoảng thì điều kiện của nó là ntn đươc không thầy và có cách nào giải nhanh nhất không ak
    
    - kvthanh viết:
      
      23/08/2012 10:17:54 PM at 10:17 pm
      
      Hàm số $y=f(x)$ ĐB (NB) trên $(a;b)$ khi và chỉ khi $f'(x)\geq 0 (f'(x)\leq 0),\forall x\in (a;b)$
      Đến đây thường cô lập tham số m sang một vế, đưa về dạng $g(x)\leq A(m)$ hoặc $g(x)\geq A(m)$ với mọi $x\in (a;b)$
      Lập BBT của g(x) để tìm max, min trên [a;b] và sử dụng kết quả sau để kết luận:
      $g(x)\geq A(m),\forall x\in [a;b]\Leftrightarrow \min_{[a;b]}g(x)\geq A(m)$
      $g(x)\leq A(m),\forall x\in [a;b]\Leftrightarrow \max_{[a;b]}g(x)\leq A(m)$
      Nội dung này có ở hầu hết các tài liệu LTĐH, bạn có thể tìm đọc. Trong thời gian tới mathblog.org sẽ có bài viết về vấn đề này. Chúc bạn thành công.
      
      - nguyễn đức việt viết:
        
        24/08/2012 1:01:27 PM at 1:01 pm
        
        thầy ơi giải dùm e bài này được không ak, càng nhanh càng tốt ak, e cám ơn thầy nhiều và thầy có thể làm rõ ràng ra đươc không ak
        VD1: Tìm m đề hàm số y=[ (x^2+(2m-1)x+m^2+1 ] / 2 nghịch biến trên khoảng (- vô cực;-1)
        
        
        kvthanh viết:
        
        25/08/2012 12:34:54 AM at 12:34 am
        
        Em gõ lại hàm số theo mã LaTeX đã hướng dẫn ở đây nhé.
        
        
        nguyễn đức việt viết:
        
        25/08/2012 9:23:44 PM at 9:23 pm
        
        em gõ nhưng mà e ko coppy lại dc thầy ak, thầy giải dùm e yk
        
        
        kvthanh viết:
        
        28/08/2012 10:48:27 PM at 10:48 pm
        
        Bạn xem các Ví dụ 1.6, 1.7, 1.8 trong bài giảng này trước và thử làm nhé, sau đó trao đổi lại nếu gặp khó khăn: http://mathblog.org/gia-tri-lon-nhat-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so-va-ung-dung/.
        
le thuy duong viết:

14/08/2012 4:25:31 PM at 4:25 pm

xin hoi cau d cua bai tap so 2 thi em phai lam the nao?khi ma mau thuc la da thuc bac con mau thuc la ham bac 1? xin huong dan cho e

- kvthanh viết:
  
  15/08/2012 9:15:37 AM at 9:15 am
  
  Bạn gõ chi tiết, chính xác câu hỏi để tiện trả lời nhé.
  
vandiep viết:

02/08/2012 9:04:09 PM at 9:04 pm

chao anh cho em hoi giup em giai bai tap sgk dc ko anh

- kvthanh viết:
  
  02/08/2012 9:14:41 PM at 9:14 pm
  
  Bạn gõ nội dung cụ thể bài tập lên đây
  
do thi tuyet mai viết:

09/07/2012 5:46:23 PM at 5:46 pm

sao lại không giải bài 3, 4, 5 trong sách giáo khoa nhỉ????????

- kvthanh viết:
  
  09/07/2012 11:01:32 PM at 11:01 pm
  
  Bạn nên tự giải các bài trong SGK, nếu tất cả các bài tập đưa lên đây đều có sẵn lời giải thì sẽ không có giá trị gì nữa. Cách học toán hiệu quả nhất là tự giải thật nhiều bài tập.
  
phuong quynh viết:

07/07/2012 9:50:39 AM at 9:50 am

cau 3a mjnh lam dc roj. ban giup dum cau 3c nha

- kvthanh viết:
  
  07/07/2012 11:14:49 AM at 11:14 am
  
  HD câu 3c)
  Xét hàm số $f(x)=\sin x+\tan x-2x$ trên $[0;\frac{\pi}{2})$
  Ta có $f'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2$
  $f''(x)=-\sin x+\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}=\dfrac{\sin x(2-\cos^3x)}{\cos^3x}$
  Trên $[0;\frac{\pi}{2})$ ta có $\sin x\geq 0; \cos x>0; 2-\cos^3x>0$ nên $f''(x)\geq 0$ .
  Do đó $f'(x)$ đồng biến trên $[0;\frac{\pi}{2})\Rightarrow f'(x)\geq f'(0)=0,\forall x\in [0;\frac{\pi}{2})$
  $\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $[0;\frac{\pi}{2})\Rightarrow f(x)>f(0)=0,\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})$ . Suy ra đpcm
  
phuong quynh viết:

07/07/2012 9:37:02 AM at 9:37 am

huong dan minh bai 3 cau a di. cam on nhieu lam

pham thao viết:

19/06/2012 10:52:24 PM at 10:52 pm

bạn ơi bạn chỉ lại dùm mình câu C phần ví dụ 1 với. có tạn ba nghiệm như vậy thì xét dấu nghiệm nào trước ma xét kiểu gì vậy bạn. bạn chỉ dùm chi tiết hộ mình với nha. mình thank bank trước.

- kvthanh viết:
  
  20/06/2012 1:14:11 AM at 1:14 am
  
  Để xét dấu bạn cần xem lại định lý về dấu của nhị thức bậc nhất $f(x)=ax+b$ , dấu của tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ và phương pháp khoảng.
  Trong Phần C, Ví dụ 1, $f'(x)=4x(x^2-1)=0$ có 3 nghiệm đơn x=0;x=1,x=-1.
  PP khoảng: Các nghiệm trên chia TXĐ ra thành 4 khoảng mà trên đó y’ luôn mang cùng 1 dấu. Do đó để biết dấu trên khoảng nào đó, bạn chỉ cần thay điểm đại diện của khoảng đó. Chẳng hạn trong $(1;+\infty)$ chứa số 2, thay 2 vào ta có y’(2)=24>0. Theo qui tắc đan dấu suy ra dấu các khoảng còn lại mà ko cần thay nữa. Bạn có biết qui tắc đan dấu chưa?
  
võ quốc thắng viết:

05/06/2012 7:04:31 PM at 7:04 pm

bạn hãy chỉ tôi rõ hơn về chứng minh bất đẳng thức

- admin viết:
  
  05/06/2012 7:27:18 PM at 7:27 pm
  
  Bạn xem kỹ Ví dụ 3 là có thể làm được.
  
nguyễn thị lan anh viết:

31/05/2012 7:41:35 AM at 7:41 am

xin chào . xin hỏi em có thể tìm câu trả lời cho các bài tập trên ở đâu ạ .

- admin viết:
  
  31/05/2012 10:30:45 AM at 10:30 am
  
  Đây là bài giảng với các kiến thức cơ bản, bài tập lấy trong sách giáo khoa môn toán cơ bản và nâng cao nên bạn có thể xem trong sách bài tập để kiểm tra kết quả. Nếu có câu hỏi nào cụ thể bạn có thể trao đổi ở đây. Cảm ơn bạn đã ghé thăm mathblog.org, hãy đăng ký để nhận tin bài tự động từ mathblog.org

Bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Danh sách các phản hồi:

Phản hồi của bạn Cancel reply

Tin bài mới nhất

Bài viết cùng chuyên mục

Đăng ký nhận bài viết mới qua email

Số người đã đăng ký theo dõi mathblog.org qua email

Bài giảng giải tích

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỷ

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị và thỏa mãn thêm các điều kiện khác (tiếp)

Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị và thỏa mãn thêm các điều kiện khác

Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số

Top Downloads

Liên kết

Thống kê