Đề thi thử đại học môn Toán năm 2010-2011

Đề thi thử đại học môn toán 2011

Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số $y=x^3-3x^2-mx+2$ .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi $m=0$ .
2. Tìm $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị cách đều đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=x-1$ .

Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình $(2\cos x-1)(\sin x+\cos x)=1$ .
2. Giải phương trình $\dfrac{3}{2}\log_{\frac{1}{4}}(x+2)^2-3=\log_{\frac{1}{4}}(4-x)^3+\log_{\frac{1}{4}}(x+6)^3$ .
Câu III. (1,0 điểm).
Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}x^2\sqrt{4-3x^2}dx.$
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi, góc $\widehat{BAD}=\alpha$ . Hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy một góc $\beta$ . Cạnh $SA=a$ . Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp $S.ABCD$ .

Câu V (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $(Oxy)$ , cho đường tròn $(C): x^2+y^2=1$ . Đường tròn $(C')$ tâm $I(2;2)$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=\sqrt{2}$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ .
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): 2x+y-z=0$ , hai đường thẳng
$d: \dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-3};\quad \Delta: \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{2}.$
Tìm tọa độ điểm $M$ trên $(P)$ , điểm $N$ trên đường thẳng $d$ sao cho $M, N$ đối xứng với nhau qua $\Delta$ . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $d_1$ đi qua $M$ , vuông góc với $d$ và tạo với $(P)$ một góc $\varphi=30^0.$

Câu VI (2,0 điểm).
1. Tìm $a$ để hệ sau có nghiệm duy nhất:
$\begin{cases} x^2+y^2-2x\leq 2&\\ x-y+a=0& \end{cases}.$
2. Giải phương trình $z^3-2(1+i)z^2+4(1+i)z-8i=0$ , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.

Hướng dẫn
Câu I.
$y'=3x^2-6x-m$ .
Hàm số có C Đ, CT khi và chỉ khi $9+3m>0\Leftrightarrow m>-3$ .
Chia $y$ cho $y'$ ta được $y=y'\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}\right)-2\left(\dfrac{m}{3}+1\right)x+2-\dfrac{m}{3}.$
GS đồ thị hs có C Đ, CT là $A(x_1;y_1); B(x_2;y_2)$ .
PT đường thẳng đi qua 2 điểm C Đ, CT là
$y=-2\left(\dfrac{m}{3}+1\right)x+2-\dfrac{m}{3}\quad (d_1)$
TH1: $(d_1)//(d)\Leftrightarrow \begin{cases} 2\left(\dfrac{m}{3}+1\right)=1&\\ 2-\dfrac{m}{3}\neq -1& \end{cases}\Leftrightarrow m=-\dfrac{9}{2}<-3$ (loại).
TH2: Trung điểm $I$ của $AB$ nằm trên $(d)\Leftrightarrow m=0.$
Câu II.
1. PT tương đương $2\sin x\cos x+2\cos^2x-(\sin x+\cos x)=1$
$\Leftrightarrow \sin 2x+\cos 2x=\sin x+\cos x\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\Leftrightarrow x=k2\pi; x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3}.$
2. ĐK: $\begin{cases} x+2\neq 0&\\ 4-x>0&\\ x+6>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -6<x<4&\\ x\neq -2& \end{cases}$
PT $\Leftrightarrow 3\log_{\frac{1}{4}}|x+2|-3=3\log_{\frac{1}{4}}(4-x)+3\log_{\frac{1}{4}}(x+6)$
$\Leftrightarrow 4|x+2|=(4-x)(x+6)$
$\Leftrightarrow 4(x+2)=(4-x)(x+6)$ hoặc $4(x+2)=-(4-x)(x+6)$
$\Leftrightarrow x=2;x=8;x=1\pm\sqrt{33}$ Kết hợp ĐK, $x=2;x=1-\sqrt{33}$ .

Câu III.
Đặt $x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin t;t\in [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]$
$dx=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cos tdt; \sqrt{4-3x^2}=\sqrt{4-4\sin^2t}=2\cos t;$
$x=0\Rightarrow t=0;x=1\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{3}.$
$I=\dfrac{4}{3\sqrt{3}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}}4\sin^2t\cos^2tdt=\dfrac{4}{3\sqrt{3}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin^22tdt$
$=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos 4t)dt=...$

Câu IV.
Kẻ đường cao $SI$ của tam giác $SBC$ . Khi đó $AI\perp BC$ (ĐL 3 đường vuông góc). Do đó $\widehat{SIA}=\beta$ .
$AI=a.\cot\beta, AB=AD=\dfrac{a\cot\beta}{\sin\alpha}, SI=\dfrac{a}{\sin\beta}$
$S_{ABCD}=AB.AD\sin\alpha=\dfrac{a^2\cot^2\beta}{\sin\alpha}$
$V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\cot^2\beta}{3\sin\alpha}$
$S_{xq}=S_{SAB}+S_{SAD}+S_{SBC}+S_{SCD}=\dfrac{a^2\cot^2\beta}{\sin\alpha}\left(1+\dfrac{1}{\sin\beta}\right)$

Câu V.
1.
$(C)$ có tâm $O(0;0)$ và BK $R=1$ , đường tròn $(C')$ cắt $(C)$ tại $A,B$ nên $AB\perp OI$ tai trung điểm $H$ của $AB$ . Suy ra $\overrightarrow{OI}(2;2)$ là VTPT của $AB: 2x+2y+C=0$
$d(O,AB)=OH=\sqrt{OB^2-HB^2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{|C|}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow C=\pm 2.$
$x+y+1=0; x+y-1=0.$
2.
Gọi $M(a;b;2a+b)\in (P)$ và $N(4+c;c;-3c)\in d$ .
VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;2;2); \overrightarrow{MN}=(-a+c+4;-b+c;-2a-b-3c)$ và trung điểm $I$ của $MN$ là $I(\dfrac{a+c+4}{2};\dfrac{b+c}{2}; \dfrac{2a+b-3c}{2})$ .
$M$ và $N$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $\Delta\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{MN}\overrightarrow{u_{\Delta}}=0&\\ I\in \Delta& \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=1&\\ b=-1&\\ c=1 \end{cases}$
GS VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(a;b;c)$ . Một VTCP của $d$ là $\overrightarrow{u}=(1;1;-3)$ .
VTPT của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2;1;-1)$ .
Từ GT ta có $\begin{cases} \overrightarrow{u_1}\overrightarrow{u}=0&\\ \sin (d_1,(P))=|\cos (\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{n})|& \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a+b-3c=0&\\ \dfrac{|2a+b-c|}{\sqrt{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{1}{2}& \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} b=3c-a&\\ 2(a+2c)^2=3(2a^2+10c^2-6ac)& \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} b=3c-a&\\ a=c; 2a-11c=0& \end{cases}...$
ĐS: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{1}; \dfrac{x-1}{11}=\dfrac{y+1}{-5}=\dfrac{z-1}{2}$ .

Câu VI.
1.
$(x-1)^2+y^2\leq 3$ . PT hình tròn tâm $I(1;0), R=\sqrt{3}$ .
Hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta: x-y+a=0$ tiếp xúc với đường tròn $\Leftrightarrow d(I,\Delta)=R$
$\Leftrightarrow \dfrac{|1-0+a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=-1-\sqrt{6}$ hoặc $a=-1+\sqrt{6}$ .
2.
Gọi nghiệm thuần ảo là $z=bi (b\in \mathbb{R})$
$(bi)^3-2(1+i)(bi)^2+4(1+i)(bi)-8i=0\Leftrightarrow \begin{cases} 2b^2-4b=0&\\ -b^3+2b^2+4b-8=0& \end{cases}\Leftrightarrow b=2$
PT $\Leftrightarrow (z-2i)(z^2-2z+4)=0\Leftrightarrow z=2i;1\pm i\sqrt{3}$ .

Danh sách các phản hồi:

hải hậu 11a.hữu nghị t78 viết:

30/05/2012 9:40:11 AM at 9:40 am

thầy giải giúp em bài toán này với ạ. cho hàm số y=1/3x^3+x^2-8x+5. tìm điểm A trên (C) nằm ở giữa cực đại, cực tiểu. CMR luôn tìm được 2 điểm B1, B2 thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại B1, B2 vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại A

- admin viết:
  
  30/05/2012 10:23:38 AM at 10:23 am
  
  Ta có $y'=x^2+2x-8\Rightarrow x_{cd}=-4,x_{ct}=2$
  A nằm giữa CĐ và CT nên hoành độ của A là $-4<x_{A}<2$
  Hệ số góc của tt tại A là $g(x_A)=x_A^2+2x_A-8$
  Lập BBT của hàm $g(x)=x^2+2x-8$ trên khoảng (-4;2) ta sẽ thấy hệ số góc của tt tại A là $-9<k<0$
  Bây giờ, hệ số góc của tt tại điểm bất kỳ là $f'(x)=x^2+2x-8$
  TT tại x vuông góc với tt tại A khi và chỉ khi $f'(x).k=-1$
  Tương đương với $(x^2+2x-8)k=-1\Leftrightarrow kx^2+2kx-8k+1=0$
  Có $\Delta'=9k^2-k>0$ với mọi $-9<k<0$ . Do đó PT trên luôn có hai nghiệm phân biệt đó chính là hoành độ tiếp điểm của hai tt vuông góc tt tại A. (Đpcm)
  Em suy nghĩ thêm điều này rồi trả lời thầy nhé: Kết quả của bài toán này có đúng với mọi hàm bậc 3 không? Vì sao?
  
QuyBv viết:

02/04/2011 5:36:34 AM at 5:36 am

Bạn có thể tham khảo tại đây: http://toanthpt.org/d%E1%BB%81-thi-th%E1%BB%AD-d%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc-dhsp-l%E1%BA%A7n-i/

mai quynh viết:

30/03/2011 5:13:21 PM at 5:13 pm

thầy có đề thi thử của dh sư phạm hà nội năem nay ko ạ?

mai quynh viết:

30/03/2011 5:09:33 PM at 5:09 pm

thưa thầy thầy đưa cả đáp án chi tiết nữa được ko ạ?

mai viết:

28/03/2011 8:57:50 AM at 8:57 am

Chao a!
E rat muon co mot so de thi thu dai hoc o cac truong.Mong a giup do.E cam on nhieu!

- mathblog.org viết:
  
  30/03/2011 2:35:17 AM at 2:35 am
  
  Trong thời gian tới tôi sẽ cố gắng cập nhật đề thi các trường lên đây và cả các đề do mathblog tổ chức thi thử tại lớp luyện thi.

Đề thi thử đại học môn Toán năm 2010-2011

Danh sách các phản hồi:

Phản hồi của bạn Cancel reply

Tin bài mới nhất

Bài viết cùng chuyên mục

Đăng ký nhận bài viết mới qua email

Số người đã đăng ký theo dõi mathblog.org qua email

Top Downloads

Liên kết

Thống kê