Phương pháp đặt ẩn phụ
Đối với một số phương trình phức tạp hơn, chúng ta không thể sử dụng cách đưa về cùng một cơ số như trong bài viết trước. Khi đó, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để được phương trình hoặc hệ phương trình đại số thông thường.
Chú ý: Khi đặt ẩn phụ, ta nên tìm điều kiện của ẩn phụ (tuỳ thuộc vào điều kiện của ẩn cần tìm).

Một số ví dụ

Ví dụ 1.
Giải các phương trình mũ sau
a) $2^{2x+1}-2^{x+3}=64$ ;
b) $e^{2x}-4e^{-2x}=3$ ;
c) $6.4^\frac{1}{x}-13.6^\frac{1}{x}+6.9^\frac{1}{x}=0$ ;
d) $8^x+18^x=2.27^x$ .
Lời giải.
a) Phương trình đã cho tương đương với
$2.(2^x)^2-2^3.2^x=64\Leftrightarrow (2^x)^2-4.2^x-32=0.$
Đặt $t=2^x \ (t>0)$ thì phương trình trở thành $t^2-4t-32=0$ . Đây là phương trình bậc hai với ẩn $t$ , ta tìm được $t=8$ hoặc $t=-4$ . Tuy nhiên $t>0$ nên chỉ có $t=8$ là thoả mãn. Thay lại để tìm $x$ , ta có
$2^x=8\Leftrightarrow 2^x=2^3\Leftrightarrow x=3.$
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm $x=3$ .
b) Đặt $t=e^{2x} \ (t>0)$ , ta có phương trình
$t-\dfrac{4}{t}=3\mbox{ hay } t^2-3t-4=0.$
Phương trình bậc hai ẩn $t$ này chỉ có một nghiệm dương $t=4$ , suy ra $e^{2x}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\ln 4$ .
c) Điều kiện $x\not=0$ . Chia cả hai vế của phương trình cho $6^\frac{1}{x}>0$ , ta có
$6.\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x}-13.1+6.\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^\frac{1}{x}=0.$
Đặt $t=\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x} \ (t>0)$ , phương trình trở thành
$6t-13+\dfrac{6}{t}=0\mbox{ hay } 6t^2-13t+6=0.$
Phương trình bậc hai trên có hai nghiệm dương $t=\dfrac{3}{2}; t=\dfrac{2}{3}$ .

Với $t=\dfrac{3}{2}$ thì $\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=1\Leftrightarrow x=1$ .

Với $t=\dfrac{2}{3}$ thì $\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=-1\Leftrightarrow x=-1$ .
Phương trình có hai nghiệm $x=1; x=-1$ .
d) Phương trình đã cho tương đương với
$2^{3x}+2^x.3^{2x}=2.3^{2x}\Leftrightarrow \Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{2x}+\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x}-2=0.$
Đặt $t=\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x}\ (t>0)$ thì phương trình trở thành
$t^3+t-2=0\mbox{ hay } (t-1)(t^2+t+2)=0.$
Do $t^2+t+2=\Big (t+\dfrac{1}{2}\Big )^2+\dfrac{7}{4}>0$ nên $t-1=0$ hay $t=1$ . Từ đó suy ra $\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x}=1=\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^0\Leftrightarrow x=0.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$ .

Ví dụ 2
Giải các phương trình lôgarit sau
a) $\dfrac{1}{4+\log_3x}+\dfrac{1}{2-\log_3x}=1$ ;
b) $-\ln^3x+2\ln x=2-\ln x$ ;
c) $x^{\lg^2x^2-3\lg x-\frac{9}{2}}=10^{-2\lg x}$ ;
d) $\log_2\sqrt{|x|}-4\sqrt{\log_4|x|}-5=0$ .
Lời giải.
a) Điều kiện $x>0, 4+\log_2x\not=0, 2-\log_2x\not=0.$
Đặt $t=\log_2x$ thì điều kiện của $t$ là $t\not=-4, t\not=2$ và phương trình trở thành

$\dfrac{1}{4+t}+\dfrac{1}{2-t}=1&\Leftrightarrow 2-t+4+t=(4+t)(2-t)$
$\Leftrightarrow t^2+3t-2=0\Leftrightarrow t=-1\vee t=-2$ (thoả mãn).
Với $t=-1$ thì $\log_2x=-1\Leftrightarrow x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$ ;
Với $t=-2$ thì $\log_2x=-2\Leftrightarrow x=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$ .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\dfrac{1}{2}, x=\dfrac{1}{4}$ .
b) Điều kiện $x>0$ , đặt $t=\lg x \ (t\in\mathbb{R})$ , phương trình trở thành
$t^3-2t^2-t+2=0\Leftrightarrow (t-1)(t+1)(t-2)=0.$
Do đó $t$ nhận các giá trị là $1; -1$ hoặc $2$ .

Với $t=1$ thì $\lg x=1\Leftrightarrow x=10^1=10$ ;

Với $t=-1$ thì $\lg x=-1\Leftrightarrow x=10^{-1}=\dfrac{1}{10}$ ;

Với $t=2$ thì $\lg x=2\Leftrightarrow x=10^2=100$ .
Vậy phương trình đã cho có $3$ nghiệm $x=10, x= \dfrac{1}{10}, x=100$ .
c) Điều kiện $x>0$ . Phương trình đã cho tương đương với

$x^{\lg^2x^2-3\lg x-\frac{9}{2}}=(10^{\lg x})^{-2}=x^{-2}$
$\Leftrightarrow lg^2x^2-3\lg x-\dfrac{9}{2}=-2\Leftrightarrow 8\lg^2x-6\lg x-5=0.$
Đặt $t=\lg x \ (t\in\mathbb{R})$ thì phương trình trở thành $8t^2-6t-5=0\mbox{ hay } t=-\dfrac{1}{2}\vee t=\dfrac{5}{4}.$

Với $t=-\dfrac{1}{2}$ thì $\lg x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ ;

Với $t=\dfrac{5}{4}$ thì $\lg x=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{10^5}$ .
Phương trình đã cho có $2$ nghiệm là $x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ và $x=\sqrt[4]{10^5}$ .
d) Điều kiện $x\not=0, \log_2|x|\ge 0 \Leftrightarrow |x|\ge 1$ . Phương trình đã cho tương đương với
$\log_2|x|^\frac{1}{2}-4\sqrt{\log_{2^2}|x|}-5=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\log_2|x|-4\sqrt{\dfrac{1}{2}\log_2|x|}-5=0.$
Đặt $t=\sqrt{\dfrac{1}{2}\log_2|x|} \ (t\ge 0)$ thì phương trình trở thành
$t^2-4t-5=0\mbox{ hay } t=-1\vee t=5.$
Do $t\ge 0$ nên $t=5$ . Suy ra $\dfrac{1}{2}\log_2|x|=25\Leftrightarrow\log_2|x|=50\Leftrightarrow |x|=2^{50}$ (thoả mãn).
Vậy $x=\pm 2^{50}$ là nghiệm của phương trình.

Nhận xét: Ta sẽ đặt ẩn phụ khi gặp những bài toán (tương đối phức tạp) có cơ số giống nhau hoặc có cơ số liên quan nhau bằng các lũy thừa. Không phải bài toán nào ta cũng đặt ẩn phụ được ngay. Chẳng hạn như khi giải phương trình
$(2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x=14$
ta phải nhận thấy rằng $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1$ , từ đó suy ra $2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3})^{-1},$
và nếu đặt $t=(2-\sqrt{3})^x$ thì $\dfrac{1}{t}=(2+\sqrt{3})^x$ . Tương tự như vậy đối với phương trình
$(\log_{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}x)^2-\log_{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}x=2.$
Muốn đặt được ẩn phụ, ta phải nhận thấy được mối liên hệ
$2\sqrt{2}+\sqrt{7}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}=(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^{-1}.$
Thậm chí, một số phương trình còn “khó nhìn” ra hơn! Chẳng hạn khi giải phương trình
$(3+2\sqrt{2})^x=(\sqrt{2}-1)^x+3$
ta cần nhận thấy $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$ và $3+2\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{2}+1)^2$ .
Từ đó nếu đặt $2t=(\sqrt{2}+1)^x, \ (t>0)$ thì ta có
$4t^2=\dfrac{1}{2t}+3\mbox{ hay } 4t^3-3t=\dfrac{1}{2}.$
(Chú ý rằng $\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}=4\cos^3\dfrac{\pi}{9}-3\cos\dfrac{\pi}{9}$ . Đáp số: $x=\log_{\sqrt{2}+1}\Big (2\cos\dfrac{\pi}{9}\Big )$ ).
Bên cạnh đó, cũng có những bài toán mà chúng ta phải đặt nhiều hơn một ẩn phụ. Khi đó phương trình đã cho được đưa về một hệ phương trình đại số. Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho nhận định này.
Ví dụ 3.
Giải các phương trình
a) $2^{2x}-\sqrt{2^x+6}=6$ ;
b) $\sqrt{3+\log_2(x^2-4x+5)}+2\sqrt{5-\log_2(x^2-4x+5)}$ .

Lời giải.
a) Đặt $u=2^x\ (u>0)$ thì phương trình trở thành $u^2-\sqrt{u+6}=6$ .
Tiếp tục đặt $v=\sqrt{u+6} \ (v> \sqrt{6})$ thì $v^2=u+6$ và ta có hệ phương trình đối xứng
$u^2=v+6, v^2=u+6.$
Trừ vế với vế ta được
$u^2-v^2=-(u-v)\Leftrightarrow (u-v)(u+v+1)=0\Leftrightarrow\left [\begin{matrix}{}u-v&=&0,\\ u+v+1&=&0.\end{matrix}\right.$
Với $u=v$ ta được $u^2=u+6\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}{}u&=&3&\\ u&=&-2& \mbox{ (loại)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2^x=3\Leftrightarrow x=\log_23$ ;
Với $u+v+1=0$ ta được $u^2+u-5=0\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}{}u&=&\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2}&\\ u&=&\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}& \mbox{ (loại)}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 2^x=\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow x=\log_2\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}.$
Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=8; x=\log_2\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}.$
b) Điều kiện $\begin{cases} x^2-4x+5>0,\\ 3+\log_2(x^2-4x+5)\ge 0,\\ 5-\log_2(x^2-4x+5)\ge 0\end{cases}\Leftrightarrow x^2-4x+5\le 2^5\Leftrightarrow 2-\sqrt{29}\le x\le 2+\sqrt{29}.$
Đặt $\begin{cases} u=\sqrt{3+\log_2(x^2-4x+5)}\\ v=\sqrt{5-\log_2(x^2-4x+5)}\end{cases}\ (u,v\ge 0)$ . Khi đó ta có hệ phương trình $\begin{cases} u+2v=6,\\ u^2+v^2=8.\end{cases}$
Giải ra ta được \ $\begin{cases} u=2,\\ v=2;\end{cases}\mbox{ hoặc }\begin{cases} u=\dfrac{2}{5},\\ v=\dfrac{14}{5}.\end{cases}$
Từ đó suy ra \ $\log_2(x^2-4x+5)=1\mbox{ hoặc } \log_2(x^2-4x+5)=\dfrac{-71}{25}$ và tìm được $4$ nghiệm của phương trình.

Nhận xét.
Đối với một số phương trình ẩn $x$ , sau khi đặt ẩn phụ thì trong phương trình vẫn còn ẩn $x$ (không biểu diễn hết được theo ẩn phụ), ta vẫn giải bình thường bằng cách coi $x$ lúc đó là hệ số tự do, và tính ẩn phụ theo $x$ rồi thay lại để tìm $x$ . Ví dụ sau minh họa điều này.
Ví dụ 4.
Giải các phương trình
a) $25^x-2(3-x).5^x+2x-7=0$ ;
b) $x.2^x=x(3-x)+2(2^x-1)$ ;
c) $\log_2^2x+(x-1)\log_2x+2x-6=0$ .

Lời giải
a) Đặt $t=5^x \ (t>0)$ thì phương trình trở thành
$t^2-2(3-x)t+2x-7=0.$
Phương trình bậc hai (ẩn $t$ ) này thoả mãn điều kiện $a-b+c=0$ nên có một nghiệm $t=-1$ và nghiệm còn lại là $t=-2x+7$ . Vì $t>0$ nên $t=-2x+7$ . Khi đó
$5^x=-2x+7.\qquad (*)$
Đến đây ta có hai cách lập luận để tìm được $x$ .

Cách 1. Ta thấy $x=1$ là một nghiệm của $(*)$ vì $5^1=-2+7$ .
Nếu $x>1$ thì $5^x>5>-2x+7$ , do đó $(*)$ vô nghiệm.
Nếu $x<1$ thì $5^x<5<-2x+7$ , do đó $(*)$ cũng vô nghiệm.
Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của $(*)$ .

Cách 2. Ta thấy $y=f(x)=5^x$ là hàm số luỹ thừa đồng biến và $y=g(x)=-2x+7$ là hàm số nghịch biến. Do đó, đồ thị của chúng cắt nhau tại nhiều nhất là một điểm. Mặt khác $f(1)=g(1)=5$ nên đồ thị của chúng cắt nhau tại điểm duy nhất là $(1; 5)$ . Vậy phương trình $(*)$ có duy nhất một nghiệm $x=1$ .
b) Đặt $2^x=y \ (y>0)$ thì phương trình trở thành
$xy=x(3-x)+2(y-1).$
Phương trình này tương đương với

$\begin{align*} &y(x-2)+x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow\ y(x-2)+(x-1)(x-2)=0\\ \Leftrightarrow\ &(x-2)(y+x-1)=0 \Leftrightarrow\ \left [\begin{matrix}{}x&=&2,&\\ 2^x&=&1-x&\qquad (*)\end{matrix}\right. \end{align*}$

Tương tự câu a), ta cũng lập luận được $x=0$ là nghiệm duy nhất của $(*)$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=2, x=0$ .
c) Điều kiện $x\ge 0$ . Đặt $t=\log_2x \ (t\in\mathbb{R})$ thì phương trình trở thành
$t^2+(x-1)t+2x-6=0.$
Phương trình này tương đương với

$\begin{align*} t^2-t-6+x(t+2)=0 &\Leftrightarrow (t+2)(t-3)+x(t+2)=0\\ &\Leftrightarrow (t+2)(t-3+x)=0\\ &\Leftrightarrow\left [\begin{matrix}{}t&=&-2,&\\ t&=&3-x.&\end{matrix}\right. \end{align*}$

Với $t=-2$ thì $\log_2x=-2\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$ ;
Với $t=3-x$ thì $\log_2x=3-x\ \ (*)$ . Nhận thấy vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến và $x=2$ là một nghiệm của phương trình $(*)$ . Do đó phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất $x=2$ .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\dfrac{1}{4}, x=2$ .

Bài tập đề nghị

Bài 1.
Giải các phương trình mũ

a) $10^{1+x^2}-10^{1-x^2}=99$ ;
b) $8.3^{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}+9^{\sqrt[4]{x}+1}=9^{\sqrt{x}}$ ;
c) $3.2^{\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}}-8.2^{\frac{\sqrt{x}-1}{2}}+4$ ;
d) $(\sqrt[5]{3})^x+(\sqrt[10]{3})^{x-10}-84=0$ .

Hướng dẫn
a) Đặt $t=10^{x^2}$ . ĐS $x=\pm 1$ .
b) Chia hai vế cho $9^{\sqrt[4]{x}}$ . Đặt $t=3^{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}$ . ĐS $x=16$ .
c) Đặt $t=2^{\frac{\sqrt{x}+1}{2}}\ (t\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \forall x\ge 0)$ . ĐS $x=9$ .
d) Đặt $t=3^{\frac{x}{10}}$ . ĐS $x=20$ .

Bài 2.
Giải các phương trình lôgarit sau
a) $\dfrac{2\lg x}{\lg x-1}=-\lg x+\dfrac{2}{\lg x-1}$ ;
b) $\log_x2-\log_4x+\dfrac{7}{6}=0$ ;
c) $x(\lg 5-1)=\lg (2^x+1)-\lg 6$ ;
d) $\lg_{2x}64+\log_{x^2}16=3$ .
Hướng dẫn.
a) Đặt $t=\lg x$ . ĐS $x=\dfrac{1}{100}$ .
b) Đặt $t=\log_2x$ . ĐS $x=8, x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}$ .
c) Viết $\lg 5-1=\lg\dfrac{1}{2}$ . Đặt $t=2^x$ . ĐS $x=1$ .
d) Đặt $t=\log_2x$ . ĐS $x=4, x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .

Bài 3.
Giải các phương trình
a) $(5-\sqrt{21})^x+7.(5+\sqrt{21})^x=2^{x+3}$ ;
b) $(2+\sqrt{3})^{x^2-2x+1}+(2-\sqrt{3})^{x^2-2x-1}=\dfrac{2}{2-\sqrt{3}}$ ;
c) $(\sqrt{-2+\sqrt{5}})^x+(\sqrt{2+\sqrt{5}})^x=2$ ;
d) $3\log_{7-4\sqrt{3}}(x-5)+2\log_{4\sqrt{3}+7}^2(x-5)+1=0$ .

Hướng dẫn
a) Từ $(5-\sqrt{21})(5+\sqrt{21})=5^2-21=4$ suy ra $\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}=\dfrac{2}{5-\sqrt{21}}$ . Chia cả hai vế cho $2^x$ , đặt $t=\Big (\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}\Big )^x\ (t>0)$ . ĐS $x=0, x=\log_{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}7$ .
b) Đặt $t=(2+\sqrt{3})^{x^2-2x}\ (t\ge (2+\sqrt{3})^{-1})$ . ĐS $x=0, x=2$ .
c) Đặt $t=(\sqrt{-2+\sqrt{5}})^x$ . ĐS $x=0$ .
d) Đặt $t=\log_{4\sqrt{3}+7}(x-5)$ . ĐS $x=12+4\sqrt{3};\ x=5+\sqrt{4\sqrt{3}+7}$ .

Bài 5.
Giải các phương trình
a) $\dfrac{8}{2^{x-1}+1}+\dfrac{2^x}{2^x+2}=\dfrac{18}{2^{x-1}+2^{x+1}+2}$ ;
b) $\log_2[x(x-1)^2]+\log_2x.\log_2(x^2-x)=2$ ;
c) $\log_2^2x+\sqrt{\log_2x+1}=1$ .

Hướng dẫn.
a) Đặt $t=2^x$ hoặc đặt hai ẩn $\begin{cases} u=2^{x-1}+1,\\ v=2^{1-x}+1\end{cases}$ , khi đó ta có $uv=2^{x-1}+2^{1-x}+2=u+v$ và đưa về hệ hai ẩn $u,v$ . ĐS $x=1, x=4$ .
b) Điều kiện $x>1$ . Đặt $\begin{cases} u=\log_2(x^2-x),\\ v=\log_2x\end{cases}$ và viết
$\log_2[x(x-1)^2]=\log_2\dfrac{(x^2-x)^2}{x}=2u-v.$
Đưa phương trình về dạng $(u-1)(v+2)=0$ . ĐS $x=2, x=4$ .
c) Đặt $u=\log_2x, v=\sqrt{u+1}$ , đưa phương trình về hệ đối xứng ẩn $u,v$ .
ĐS $x=2^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}, x=1, x=\dfrac{1}{2}$ .

Bài 6.
Giải các phương trình
a) $9^x+2(x-2).3^x+2x-5=0$ ;
b) $\lg^2(x^2+1)+(x^2-5)\lg (x^2+1)-5x^2=0$ ;
c) $(x+2)\log_3^2(x+1)+4(x+1)\log_3(x+1)-16=0$ ;
d) $4x^2+3^{\sqrt{x}}.x+3^{1+\sqrt{x}}=2.3^{\sqrt{x}}.x^2+2x+6$ .

Hướng dẫn.
Đặt ẩn phụ, tính ẩn phụ theo biến $x$ .
ĐS a) $x=1$ ; b) $x=\pm\sqrt{99999},\ x=0$ ; c) $x=2,\ x=-\dfrac{80}{81}$ ;
d) Đặt $y=3^{\sqrt{x}}$ , ta được $4x^2+yx+3y=2yx^2+2x+6\Leftrightarrow\ (y-2)(2x^2-x-3)=0$ .
ĐS $x=\dfrac{3}{2};\ x=(\log_3 2)^2$ .

Danh sách các phản hồi:

lương quốc vũ viết:

03/04/2013 6:02:04 PM at 6:02 pm

(1+k)^{10}=1,5 giải ra k=4,14% nhưng không biết cách giải. ai giải giúp thật tỉ mỉ giúp mình nhé>

Lisabeth Bardin viết:

20/04/2012 1:34:50 PM at 1:34 pm

Hello Web Admin, I noticed that your On-Page SEO is is missing a few factors, for one you do not use all three H tags in your post, also I notice that you are not using bold or italics properly in your SEO optimization. On-Page SEO means more now than ever since the new Google update: Panda. No longer are backlinks and simply pinging or sending out a RSS feed the key to getting Google PageRank or Alexa Rankings, You now NEED On-Page SEO. So what is good On-Page SEO?First your keyword must appear in the title.Then it must appear in the URL.You have to optimize your keyword and make sure that it has a nice keyword density of 3-5% in your article with relevant LSI (Latent Semantic Indexing). Then you should spread all H1,H2,H3 tags in your article.Your Keyword should appear in your first paragraph and in the last sentence of the page. You should have relevant usage of Bold and italics of your keyword.There should be one internal link to a page on your blog and you should have one image with an alt tag that has your keyword….wait there’s even more Now what if i told you there was a simple WordPress plugin that does all the On-Page SEO, and automatically for you? That’s right AUTOMATICALLY, just watch this 4minute video for more information at. WordPress Seo Plugin

Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Một số ví dụ

Bài tập đề nghị

Danh sách các phản hồi:

Trackbacks

Phản hồi của bạn Cancel reply

Tin bài mới nhất

Bài viết cùng chuyên mục

Đăng ký nhận bài viết mới qua email

Số người đã đăng ký theo dõi mathblog.org qua email

Bài giảng đại số

Tìm số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện cho trước

Một số phương pháp độc đáo giải phương trình mũ và lôgarit

Phương pháp đồ thị và sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa

Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương trình mũ và lôgarit cơ bản

Lũy thừa

Bài giảng đại số 10- Chương 3. Phương trình và hệ phương trình

Top Downloads

Liên kết

Thống kê