Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong các nội dung xuất hiện trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng. Từ giờ đến khi thi, mathblog sẽ giới thiệu một số dạng toán liên quan đến nội dung này. Bài giảng này nói về góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trước tiên ta nhắc lại các công thức tính góc.

Giả sử $\Delta$ đi qua $M_0$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ ,
$\Delta'$ đi qua $M'_0$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}$ ,
mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ ,
mặt phẳng $(Q): A'x+B'y+C'z+D'=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n'}=(A';B';C')$ .
Gọi $\alpha$ là góc giữa $\Delta$ và $\Delta'$ ; $\beta$ là góc giữa $\Delta$ và $(P)$ ; $\gamma$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$ ..
Khi đó ta có
$\cos \alpha=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{u'}\right|}, \sin\beta=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}$ .
$\cos \gamma=\left|\cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n'}\right|}$
Bây giờ xét một số ví dụ.
Ví dụ 1.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $(\alpha): x-y+z-5=0$ và $\Delta: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{2}$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(3;-1;1)$ , nằm trong mp $(\alpha)$ và hợp với $\Delta$ một góc $45^o$ .
Lời giải.
Giả sử VTCP của $d$ là $\overrightarrow{u}=(a;b;c), (a^2+b^2+c^2\neq 0)$ .
VTPT của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n}=(1;-1;1)$ .
VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;2;2)$ .
Do $d\subset (\alpha)$ nên $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$
$\Leftrightarrow a-b+c=0$ (1).
Vì goc giữa $d$ và $\Delta$ là $45^o$ nên $\cos 45^o=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u_{\Delta}})\right|$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left|a+2b+2c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\sqrt{4+4+1}\Leftrightarrow 3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\left|a+2b+2c\right|$ (2)
Thế (1) vào (2) ta có $3\sqrt{2}\sqrt{a^2+(a+c)^2+c^2}=2\left|a+2(a+c)+2c\right|\Leftrightarrow 3\sqrt{a^2+ac+c^2}=\left|3a+4c\right|$
$\Leftrightarrow 15ac+7c^2=0\Leftrightarrow c(15a+7c)=0\Leftrightarrow c=0$ hoặc $15a+7c=0$ .
Với $c=0$ chọn $a=b=1$ , ta được $d: \begin{cases} x=3+t&\\ y=-1+t&\\ z=1 \end{cases}$
Với $15a+7c=0$ , chọn $a=7,c=-15,b=-8$ , ta được $d: \begin{cases} x=3+7t&\\ y=-1-8t&\\ z=1+15t \end{cases}$
Nhận xét: Bài toán trên là bài toán có 3 ẩn số phải tìm là $a,b,c$ . Ta lập được hệ gồm hai phương trình. Trong trường hợp này thì hệ PT luôn là hệ vô định, tức là có vô số nghiệm. Lý do có vô số nghiệm ở đây (có thể chọn $a,b,c$ ) là vì nếu $\overrightarrow{u}$ là VTCP của $d$ thì $k.\overrightarrow{u},k\neq 0$ cũng là VTCP của $d$ .
Khi giải hệ loại này thường dẫn ta đến phương trình vô định thuần nhất bậc hai dạng $Ax^2+Bxy+Cy^2=0$ . Do đó các bạn cần nắm vững cách giải PT này. Cần xét 2 trường hợp: TH1 xét với $y=0$ ; TH2 xét $y\neq 0$ , chia cả hai vế cho $y^2$ được PT bậc 2.
Ví dụ 2.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $\Delta: \begin{cases} x=-t&\\ y=-1+2t&\\ z=2+t \end{cases}$
và $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$ .
Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và tạo với $(\alpha)$ một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Giả sử $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{P}}=(A;B;C), (A^2+B^2+C^2\neq 0)$ .
Ta có VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=(-1;2;1)$ .
$(\alpha)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{\alpha}}=(2;-1;-2)$ .
Do $(P)$ chứa $\Delta$ nên $\overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{u_{\Delta}}=0\Leftrightarrow -A+2B+C=0$ (1)
Gọi $\varphi$ là góc giữa $(\alpha)$ và $(P)$ thì ta có $\cos\varphi=\left|\cos(\overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{n_{\alpha}})\right|$
$\Leftrightarrow \cos\varphi=\dfrac{\left|2A-B-2C\right|}{3\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ (2)
Thế (1) vào (2) ta có
$(5\cos^2\varphi-1)B^2+4B.C.\cos^2\varphi+2C^2\cos^2\varphi=0$ (*).
Đặt $a=\cos^2\varphi$ , ta có
$(5a-1)B^2+4aBC+2aC^2=0$
Với $C=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{5}$ hoặc $B=0\Rightarrow A=0$ .
Với $C\neq 0\Rightarrow (5a-1)\left(\dfrac{B}{C}\right)^2+4a\left(\dfrac{B}{C}\right)+2a=0$
PT này có nghiệm $\Delta'=\Leftrightarrow -3a^2+a\geq 0\Leftrightarrow 0\leq a\leq \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \varphi$ nhỏ nhất khi $\cos^2\varphi=\dfrac{1}{3}$ , thay vào PT (*) ta tìm được $B=1,C=-1,A=1$ .
KL: $(P): x+y-z+3=0$ .
Để nắm vững cách giải của dạng này, các bạn nên làm thêm một số bài tập dưới đây.
Bài tập đề nghị
Bài 1.
Cho $\Delta_1$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x-ay-z-1=0$ và $y-2=0$ ; $\Delta_2$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ax+3y-a-3=0$ và $z-1=0$ .
Xác định $a$ để góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng $45^o$ .
Bài 2.
Cho $\Delta:\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$ . Gọi $\alpha,\beta,\gamma$ lần lượt là góc hợp bởi $\Delta$ với các trục tọa độ. CMR $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ .
Bài 3.
Cho $d_1$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x+y-2=0$ và $y+z-2=0$ ; $d_2:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+5}{-1}$ . Viết phương trình mặt phẳng chứa $d_1$ và tạo với $d_2$ một góc $60^o$ .

Danh sách các phản hồi:

Hoang viết:

23/04/2013 8:16:27 PM at 8:16 pm

Thay oi giup em giai bai nay. Cam on thay
Cho A(-1;0;-1); Δ1: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$
Δ2: $\frac{x-3}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{2}$
Viet ptts cua duong thang d qua A, cat Δ1 va tao voi Δ2 goc lon nhat (nho nhat).

Đỗ Công viết:

18/06/2012 8:50:37 AM at 8:50 am

Rất hay và rõ ràng. Cảm ơn Ad rất nhiều

- Đặng thu hiền viết:
  
  15/09/2012 9:26:42 PM at 9:26 pm
  
  thầy ơi, những bài mà Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng đồng thời măt phẳng đó lại tạo với đường thẳng khác 1 góc nhỏ nhất thì làm thế nào ạ …
  
slyboots viết:

07/06/2012 3:32:56 PM at 3:32 pm

cam on vi da dang nhung bai toan nay nhung giai 1 so bai kho hieu quá.nen giai ki 1 tí na

- admin viết:
  
  09/06/2012 6:06:31 PM at 6:06 pm
  
  Bạn cần nói rõ khó hiểu chỗ nào không nên nói chung chung để mathblog có thể giải đáp giúp bạn.

Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Danh sách các phản hồi:

Phản hồi của bạn Cancel reply

Tin bài mới nhất

Bài viết cùng chuyên mục

Đăng ký nhận bài viết mới qua email

Số người đã đăng ký theo dõi mathblog.org qua email

Bài giảng hình học

Lập phương trình của đường thẳng trong không gian (p2)

Lập phương trình đường thẳng trong không gian (p1)

Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Các chuyên đề luyện thi đại học môn toán

Về một bài toán cực trị hình học

Thể tích khối đa diện

Top Downloads

Liên kết

Thống kê