Lập phương trình của đường thẳng trong không gian (p2)

Ở bài viết trước Lập phương trình của đường thẳng trong không gian (p1), mathblog.org đã giới thiệu 4 dạng bài tập cơ bản. Trong bài viết này, tôi sẽ tiếp tục giới thiệu thêm 4 ví dụ cơ bản nữa.

Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ , cắt hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ .

Ví dụ 5.
Cho mặt phẳng $(\alpha): x+2y-z+1=0$ và hai đường thẳng
$d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$
$d_2: \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{2}$ .
Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mp $(\alpha)$ và cắt $d_1,d_2$ .
Lời giải.
Giả sử $M_1=\Delta\cap d_1, M_2=\Delta\cap d_2$
$\Rightarrow M_1=(1+2t;-1+t;2-t), M_2=(2+t';-t';-1+2t')$
$\overrightarrow{M_1M_2}=(1-2t+t'; 1-t-t';-3+t+2t')$
Mặt khác $\Delta\perp (\alpha)$ nên VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\overrightarrow{n_{\alpha}}=(1;2;-1)$
hay $\overrightarrow{M_1M_2}=k.\overrightarrow{u_{\Delta}}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 1-2t+t'=k&\\ 1-t-t'=2k&\\ -3+t+2t'=-k \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}&\\ t'=\dfrac{7}{6}&\\ k=-\dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\Rightarrow M_1=\left(4;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$
Vậy PT của $\Delta:\begin{cases} x=4+t&\\ y=\dfrac{1}{2}+2t&\\ z=\dfrac{1}{2}-t \end{cases}$

Dạng 6. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(\alpha)$ , vuông góc và cắt $d$ .

Ví dụ 6.
Cho mặt phẳng $(\alpha):x+2y-z-2=0$ và $d: \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+2}{3}$ .
Viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(\alpha)$ , vuông góc và cắt $d$ .
Lời giải.
Giả sử $\Delta\cap d=A$ . Do $\Delta\subset (\alpha)$ nên $A\in (\alpha)\Rightarrow A=d\cap (\alpha)$
$A\in d\Rightarrow A=(-1+2t;2-t;-2+3t)$
$A\in(\alpha)\Rightarrow -1+2t+2(2-t)-(-2+3t)-2=0\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A=(1;1;1)$
Do $\Delta\perp d\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}\perp\overrightarrow{u_d}$
và do $\Delta\subset (\alpha)$ nên $\overrightarrow{u_{\Delta}}\perp \overrightarrow{n_{\alpha}}$
$\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\alpha}}}\right]=-5(1;-1;-1)$
Vậy PT của $\Delta:\begin{cases} x=1+t&\\ y=1-t&\\ z=1-t \end{cases}$

Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ , cắt hai đường thẳng $d_1,d_2$ .

Ví dụ 7.
Cho mặt phẳng $(P):x+2z=0$ và hai đường thẳng
$d_1:\begin{cases} x=1-t&\\ y=t&\\ z=4t \end{cases}, d_2:\begin{cases} x=2-t'&\\ y=4+2t'&\\ z=1 \end{cases}$ .
Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ , cắt hai đường thẳng $d_1,d_2$ .
Lời giải.
Gọi $M=d_1\cap (P)\Rightarrow M(1-t;t;4t)$
$M\in (P)\Rightarrow 1-t+8t=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{7}\Rightarrow M\left(\dfrac{8}{7};-\dfrac{1}{7};-\dfrac{4}{7}\right)$
Gọi $N=d_2\cap (P)\Rightarrow N(2-t';4+2t';1)$
$N\in (P)\Rightarrow 2-t'+2=0\Leftrightarrow t'=4\Rightarrow N(-2;12;1)$
Do $\Delta$ qua $M,N$ nên có VTCP $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{7}(-22;85;11)$
Vậy PT của $\Delta:\begin{cases} x=-2-22t&\\ y=12+85t&\\ z=1+11t \end{cases}$

Dạng 8. Lập phương trình mặt cầu $(S)$ có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Ví dụ 8.
Cho hai đường thẳng $d_1:\begin{cases} x=1+t&\\ y=-1-t&\\ z=2 \end{cases}$ và $d_2:\begin{cases} x=3-t'&\\ y=1+2t'&\\ z=t' \end{cases}$ .
Viết PT mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của $d_1$ và $d_2$ .
Hướng dẫn.
Trước tiên ta tìm đoạn vuông góc chung như trong Bài giảng viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Từ đó ta tìm được đoạn vuông góc chung $MN$ , với $M(1;-1;2)$ và $N(3;1;0)$ .
Tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là trung điểm $MN\Rightarrow I(2;0;1)$ và bán kính bằng
$R=IM=\sqrt{(2-1)^2+(-1-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{3}$
Vậy phương trình mặt cầu $(S):(x-2)^2+y^2+(z-1)^2=3$ .
Nhận xét: Mặt cầu $(S)$ trong Ví dụ 8 cũng chính là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả $d_1$ và $d_2$ . Vì vậy Ví dụ 8 còn có thể phát biểu dạng: Viết PT mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc cả $d_1$ và $d_2$ .

Danh sách các phản hồi:

Lam viết:

26/04/2013 6:28:56 PM at 6:28 pm

Thay oi giup em giai bai nay. Cam on thay
Cho A(-1;0;-1); Δ1: $\frac{x-1}{2}+\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$
Δ2: $\frac{x-3}{-1}+\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{2}$
Viet ptts cua duong thang d qua A, cat Δ1 va tao voi Δ2 goc lon nhat (nho nhat).

- kvthanh viết:
  
  27/04/2013 9:53:02 AM at 9:53 am
  
  d qua A cắt $\Delta_1$ nên $d\subset (P)$ chứa A và $\Delta_1$ .
  Lấy B(1;2;-2) thuộc $\Delta_1\Rightarrow \overrightarrow{n}_P=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u}_1]$ .
  Giả sử VTCP của d là $\overrightarrow{u}_d=(a;b;c), a^2+b^2+c^2\neq 0$ .
  Ta có phương trình $\overrightarrow{u}_d.\overrightarrow{n}_P=0$ (1).
  Gọi $\varphi$ là góc giữa d và $\Delta_2$ . Khi đó
  $\cos\varphi=|\cos(\overrightarrow{u}_d;\overrightarrow{u}_2)|=\dfrac{|\overrightarrow{u}_d.\overrightarrow{u}_2|}{|\overrightarrow{u}_d|.|\overrightarrow{u}_2|}$ (2).
  Đến đây rút c theo a,b từ (1) thế vào (2) ta được một phương trình thuần nhất bậc hai với hai ẩn là a,b, tham số là $\cos\varphi$ .
  Đặt $m=\cos\varphi$ . Tìm m để phương trình thuần nhất bậc hai ở trên có nghiệm ta sẽ tìm được giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của $\varphi$ . Sau đó tìm a, b,c là xong.
  Đoạn sau của lời giải ở trên nấu gặp khó khăn, em có thể tham khảo ở Ví dụ 2, trong bài giảng
  Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng theo link sau:
  Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
  
Hoang viết:

19/04/2013 11:02:19 AM at 11:02 am

Thay oi em co mot bai muon nho thay giup dum em.
Cho A(0,-1,2)
Duong thang d1: $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$
Duong thang d2: $\frac{x-5}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$
Viet phuong trinh duong thang d qua A, cat d1 va khoang cach giua d va d2 la lon nhat

- kvthanh viết:
  
  20/04/2013 5:49:01 PM at 5:49 pm
  
  Phân tích: d cắt d1 và đi qua A nên d nằm trong mặt phẳng (P) chứa A và d1.
  Viết PT mp(P) và xét vị trí tương đối của d2 và (P) ta thấy d2 cắt (P) tại I.
  Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d2, gọi H là hình chiếu vuôg góc của M trên d. Khi đó khoảng cách giữa d và d2 luôn nhỏ hơn hoặc bằng MH, MH luôn nhỏ hơn hoặc bằng MA.
  Vậy khoảng cách giữa d và d2 lớn nhất khi và chỉ khi MA là đoạn vuông góc chung của d và d2. Do đó d là đường thẳng qua A, nằm trong (P) và vuông góc với d2.
  $\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=[\overrightarrow{u}_2;\overrightarrow{n}_P]$
  Em vẽ hình minh họa và tính toán cụ thể để hiểu rõ hơn nhé.
  
  - Tuan viết:
    
    21/04/2013 9:52:03 AM at 9:52 am
    
    thầy ơi em không hiểu ở chỗ MA la đoan vuông góc chung thì sao d lại vuông góc với d2 ạ, mà MA la đoan vuông góc chung thì d va d2 chéo nhau cung được mà.
    
    - kvthanh viết:
      
      21/04/2013 12:37:56 PM at 12:37 pm
      
      Cảm ơn bạn Tuấn đã chỉ ra sai sót, ta phân tích kỹ hơn như sau:
      Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d2, gọi H là hình chiếu vuôg góc của M trên d. Khi đó khoảng cách giữa d và d2 luôn nhỏ hơn hoặc bằng MH (do khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là nhỏ nhất so với khoảng cách nối hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc vào 2 đường thẳng chéo nhau), MH luôn nhỏ hơn hoặc bằng MA (do tam giác AMH vuông tại H khi H khác A).
      Do MA là cố định nên khoảng cách giữa d và d2 lớn nhất là bằng MA khi và chỉ khi H trùng A, tức là MA là đường vuông góc chung của d và d2.
      Do đó d đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với MA.
      $\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=[\overrightarrow{n}_P;\overrightarrow{MA}]$
      
      - Lam viết:
        
        24/04/2013 12:06:41 PM at 12:06 pm
        
        Minh co cong thuc tinh khoang cach nao hk sao hk lam cach do vay thay
        
      - Tam viết:
        
        24/04/2013 5:25:04 PM at 5:25 pm
        
        Minh co cong thuc nao tinh khoang cach giua 2 duong thang khong thay. Neu co thay cho em biet voi
        
        
        kvthanh viết:
        
        24/04/2013 5:43:08 PM at 5:43 pm
        
        Chương trình theo SGK cơ bản không có công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, nhưng chương trình theo SGK nâng cao có công thức:
        $d(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|[\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2]\overrightarrow{M_1M_2}|}{|[\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2]|}, M_1\in \Delta_1,M_2\in \Delta_2$ .
        
        
        Lam viết:
        
        25/04/2013 12:56:13 AM at 12:56 am
        
        M1, M2 bat ki thuoc 2 duong thang do ha thay. Cam on thay
        
Hoang viết:

18/04/2013 8:55:01 PM at 8:55 pm

Thay oi em co mot bai muon nho thay giup dum em.
Cho A(0,-1,2)
Duong thang d1:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}
Duong thang d2: \frac{x-5}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}
Viet phuong trinh duong thang d qua A, cat d1 va khoang cach giua d va d2 la lon nhat

Hoang viết:

17/04/2013 7:54:33 PM at 7:54 pm

Giup em giai bai nay (P):x+3y-z-1=0; A(1;0;0) ; B(0;-2;3)
Viet phuong trinh duong thang d
Biet d thuoc (P), d qua A va cach B mot khoang lon nhat

- kvthanh viết:
  
  18/04/2013 12:09:31 AM at 12:09 am
  
  Thay tọa độ của A, B vào PT của (P), ta thấy A thuộc (P), B không thuộc (P).
  Phân tích: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d. Khi đó khoảng cách từ B đến d bằng BH. Nếu H không trùng với A thì ta luôn có tam giác BHA vuông tại H. Do đó ta luôn có $BH\leq BA\Rightarrow BH$ lớn nhất là bằng BA khi và chỉ khi H trùng với A.
  Vậy d là đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với AB.
  Cách viết PT của d:
  $d\subset (P)\Rightarrow \overrightarrow{u}_d\perp \overrightarrow{n}_P$
  $d\perp AB\Rightarrow \overrightarrow{u}_d\perp \overrightarrow{AB}$
  $\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n}_P]$
  Bạn tính toán chi tiết nhé.
  
Hoàng Phi Long viết:

07/04/2013 10:06:17 AM at 10:06 am

em chào thầy ạ , em xin chân thành cám ơn thầy nhiều lắm ạ , thầy đã chia sẻ những tài liệu rất quý báu cho các bạn học sinh chúng em , thầy ơi, không có mục download về máy tính cá nhân à thầy , vì nhà em không có mạng Internet nên khi nào ra quán em mới đọc được tài liệu của thầy thôi ạ , số điện thoại của em là 0986.572.050 , thầy ơi , em có thể liên lạc được với thầy được không ạ

- kvthanh viết:
  
  07/04/2013 6:58:07 PM at 6:58 pm
  
  Dưới mỗi bài viết có dòng “Chia sẻ hoặc lưu trữ bài viết dưới định dạng PDF, em nhập địa chỉ email của em vào đó rồi nhấn nút gửi, chờ vài phút em mở email của em ra rồi tải bài viết về.
  Số đt của mình: 01682.803.149
  
Tuan viết:

29/03/2013 8:36:37 PM at 8:36 pm

cám ơn thầy nhiều ạ, Mà thầy ơi em muốn ôn lại phương pháp tọa độ trong mặt phẳng toán lop 10 mà em đã quên hết nhưng giờ em không có tài liệu đầy đủ để ôn, thầy có thể giúp em không ạ năm nay em thi đại học rồi.

Tuan viết:

28/03/2013 11:14:42 PM at 11:14 pm

Mong thầy chỉ giúp hướng giải bài hình này ạ: Trong không gian cho 2 điểm A,B khong thuoc mp (P) tren (P) tim toa do diem M sao cho MA + MB nhỏ nhất

- kvthanh viết:
  
  28/03/2013 11:46:18 PM at 11:46 pm
  
  G/s (P): ax+by+cz+d=0 và $A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B)$
  Bước 1. Kiểm tra vị trí tương đối của A,B với (P)
  Xét $F=(ax_A+by_A+cz_A+d)(ax_B+by_B+cz_B+d)$
  Nếu F<0 thì A,B khác phía đối với (P),
  Nếu F>0 thì A,B cùng phía đối với (P).
  Bước 2.
  Nếu F<0 thì $M=AB\cap (P)$
  Nếu F>0 thì gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Khi đó A’ và B ở khác phía đối với (P) và ta có
  $MA+MB=MA'+MB\geq A'B\Rightarrow MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M=A'B\cap (P)$

Lập phương trình của đường thẳng trong không gian (p2)

Danh sách các phản hồi:

Phản hồi của bạn Cancel reply

Tin bài mới nhất

Bài viết cùng chuyên mục

Đăng ký nhận bài viết mới qua email

Số người đã đăng ký theo dõi mathblog.org qua email

Bài giảng hình học

Lập phương trình của đường thẳng trong không gian (p2)

Lập phương trình đường thẳng trong không gian (p1)

Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Các chuyên đề luyện thi đại học môn toán

Về một bài toán cực trị hình học

Thể tích khối đa diện

Top Downloads

Liên kết

Thống kê