Lập phương trình đường thẳng trong không gian (p1)

Trong bài giảng này mathblog.org sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập cơ bản về lập phương trình đường thẳng trong không gian. Trong một đề thi đại học, nội dung này được xem là khá nhẹ, dễ ăn điểm tối đa. Các bạn cần nắm vững một số dạng bài cơ bản để có thể làm nhanh phần này, dành thời gian cho những phần khó hơn.

Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm $M$ , cắt hai đường thẳng $d_1,d_2$ cho trước.

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng $d_1:\begin{cases} x=-2+3t&\\ y=t&\\ z=1-2t \end{cases}$ và $d_2:\begin{cases} x=-2+2t'&\\ y=-t'&\\ z=2+t' \end{cases}$ .
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và cắt cả hai đường thẳng $d_1,d_2$ .
Lời giải.
Cách 1. Giả sử $d\cap d_1=M_1, d\cap d_2=M_2$
$\Rightarrow M_1=(-2+3t;t;1-2t), M_2=(-2+2t';-t';2+t')$
$M,M_1,M_2\in d\Rightarrow \overrightarrow{MM_1}=k\overrightarrow{MM_2}$ .
Ta có $\overrightarrow{MM_1}=(-3+3t;t-1;-2t), \overrightarrow{MM_2}=(-3+2t';-t'-1;1+t')$ .
Do đó ta có $\begin{cases} -3+3t=k(-3+2t')& (1)\\ t-1=k(-t'-1)& (2)\\ -2t=k(1+t') & (3) \end{cases}$
Với $t'=-1\Rightarrow t=0$ thay vào (2) không thỏa mãn.
Với $t'\neq -1 (3)\Rightarrow k=\dfrac{-2t}{1+t'}$ . Thế vào (1), (2), ta được
$\begin{cases} -3+3t=\dfrac{-2t}{1+t'}(-3+2t')&\\ t-1=\dfrac{-2t}{1+t'}(-t'-1)& \end{cases}$
Từ pt thứ hai ta có $t=-1\Rightarrow t'=0\Rightarrow \overrightarrow{MM_1}=(-6;-2;2)=-2(3;1;-1)$ .
Vậy phương trình $d:\begin{cases} x=1+3t&\\ y=1+t&\\ z=1-t \end{cases}$ .
Cách 2. $d$ qua $M$ và cắt $d_1$ nên $d\subset (\alpha)$ chứa $M$ và $d_1$ .
$d$ qua $M$ và cắt $d_2$ nên $d\subset (\beta)$ chứa $M$ và $d_2$ .
Do đó $d=(\alpha)\cap(\beta)$ .
Xác định VTPT của $(\alpha)$ :
$d_1$ qua $M_1(-2;0;1)$ , có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(3;1;-1)$
$M(1;1;1;), \overrightarrow{MM_1}=(-3;-1;0)$
VTPT của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{MM_1}\right]=-2(1;-3;0)$
Xác định VTPT của $(\beta)$ :
$d_2$ qua $M_2(-2;0;2)$ , có VTCP $\overrightarrow{u_2}=(2;-1;1)$
$M(1;1;1)\Rightarrow \overrightarrow{MM_2}=(-3;-1;1)$
VTPT của $(\beta)$ là $\overrightarrow{n_{\beta}}=\left[\overrightarrow{u_2};\overrightarrow{MM_2}\right]=5(0;1;1)$ .
Do đó VTCP của $d$ là $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{\alpha}};\overrightarrow{n_{\beta}}\right]=-10(3;1;-1)$
Vậy PT của $d:\begin{cases} x=1+3t&\\ y=1+t&\\ z=1-t \end{cases}$ .

Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ , song song với một đường thẳng $d_1$ và cắt hai đường thẳng $d_2,d_3$ cho trước.

Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng
$d_1:\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-1}{1};d_2:\dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-9}{-1};d_3:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z-2}{-1}$ .
Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt hai đường thẳng $d_1,d_2$ đồng thời song song với $d_3$ .
Lời giải.
Giả sử $\Delta\cap d_1=M_1\Rightarrow M_1(2+3t;-2+4t;1+t)$
$\Delta\cap d_2=M_2\Rightarrow M_2\left(7+t';3+2t';9-t'\right)$
Do $M_1,M_2\in \Delta$ và $\Delta // d_3$ nên ta có
$\overrightarrow{M_1M_2}=k\overrightarrow{u_3}\Leftrightarrow \begin{cases} 5-3t+t'=3k&\\ 5-4t+2t'=-2k&\\ 8-t-t'=-k \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} -3t+t'-3k=-5&\\ -4t+2t'+2k=-5&\\ -t-t'+k=-8 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=\dfrac{47}{14}&\\ t'=\dfrac{31}{7}&\\ k=\dfrac{-3}{14} \end{cases}$
$\Rightarrow M_1=\left(-\dfrac{169}{14};\dfrac{80}{7};\dfrac{61}{14}\right).$
Vậy PT của $\Delta:\begin{cases} x=\dfrac{-169}{14}+3t&\\ y=\dfrac{80}{7}-2t&\\ z=\dfrac{61}{14}-t \end{cases}$

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm $A$ , vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$ .

Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{1}; d_2:\begin{cases} x=-1&\\ y=t&\\ z=1+t \end{cases}$
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(0;1;1)$ , vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$ .
Lời giải.
Giả sử $M_2=d\cap d_2\Rightarrow M_2(-1;t;1+t)$ .
$A,M_2\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM_2}=(-1;t-1;t)=\overrightarrow{u_d}$ .
Mặt khác $d\perp d_1\Rightarrow \overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{u_1}=0$
$\Leftrightarrow -3+t-1+t=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=(-1;1;2)$ .
Vậy PT của $d:\begin{cases} x=-t&\\ y=1+t&\\ z=1+2t \end{cases}$

Dạng 4. Viết PT đường thẳng đi qua một điểm $M$ , cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $(P)$ cho trước.

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M(1;1;1)$ , cắt $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-1}$ và song song với mặt phẳng $(P):x+3y+z-1=0$ .
Lời giải.
Gọi $M_1=d\cap (P)\Rightarrow M_1=(-1+2t;t;-t)$
Ta có $\overrightarrow{MM_1}=(-2+2t;t-1;-t-1)$ .
Mặt khác, $\Delta // (P)\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}.\overrightarrow{n_{P}}=0\Leftrightarrow -2+2t+3t-3-t-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{2}$ .
Do đó $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left(1;\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2}\right)$ .
Vậy phương trình của $\Delta:\begin{cases} x=1+2t&\\ y=1+t&\\ z=1-5t \end{cases}$
Mời các bạn đón đọc bài viết Lập phương trình đường thẳng trong không gian (p2)

Danh sách các phản hồi:

Minh Hòa viết:

07/04/2013 9:46:49 AM at 9:46 am

thưa thầy! ví dụ 2 có thể làm theo cách: viết pt mp
(P) chứa d1 và d3, mp (Q) chứa d2 và d3
=> \Delta = (P) giao (Q)
thầy có thể làm giùm e cách này k ạ

- kvthanh viết:
  
  08/04/2013 9:12:59 AM at 9:12 am
  
  Ví dụ 2 có thể giải theo cách thứ 2:
  $\Delta$ cắt $d_1$ và song song với $d_3$ nên $\Delta\subset (P)$ , ở đó $(P)$ chứa $d_1$ và song song với $d_3$ .
  $\Delta$ cắt $d_2$ và song song với $d_3$ nên $\Delta\subset (Q)$ , ở đó $(Q)$ chứa $d_2$ và song song với $d_3$ .
  Như vậy $\Delta=(P)\cap (Q)$ và ta viết pt của $\Delta$ theo các bước sau:
  - Viết PT mp(P):
  (P) đi qua điểm $M_1\in d_1$ và có VTPT $\overrightarrow{n}_P=[\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_3]$ .
  - Viết PT mp(Q):
  (Q) đi qua điểm $M_2\in d_2$ và có VTPT $\overrightarrow{n}_Q=[\overrightarrow{u}_2,\overrightarrow{u}_3]$ .
  - Viết PT đường thẳng $\Delta=(P)\cap (Q)$ :
  Em giải chi tiết và so sánh kết quả với cách giải trong bài viết nhé.
  
Tuan viết:

21/03/2013 10:51:57 AM at 10:51 am

anh ơi ở vi du 1 giai hệ pt tại sao lại phải xét TH t = -1 vậy anh?

- kvthanh viết:
  
  21/03/2013 4:20:57 PM at 4:20 pm
  
  Vì $t'\neq -1$ mới có thể thực hiện phép chia cho $t'+1$ .
  Nếu cứ thực hiện phép chia cho $t'+1$ là tự nhiên ép $t'\neq -1$ , trong khi nó có thể là nghiệm.
  Đây là vấn đề cơ bản khi biến đổi tương đương một PT, chẳng hạn biến đổi sau là sai:
  $(x-1)(x-2)=(x-1)(x-3)\Leftrightarrow x-2=x-3\Leftrightarrow -2=-3\Rightarrow$ PT vô nghiệm.
  Nó cũng giống như khi bạn giải PT $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d$ , bạn cần xét hai TH
  TH1: $\cos x=0$
  TH2: $\cos x\neq 0$ , chia 2 vế cho $\cos^2x$ .
  
Pin_Heo viết:

05/01/2013 11:07:50 AM at 11:07 am

ở ví dụ 4 em nghĩ M1 = d $\bigcap$ $\Delta$ chứ ạ

- kvthanh viết:
  
  06/01/2013 7:19:24 PM at 7:19 pm
  
  Cảm ơn bạn đã chỉ ra sai sót, đúng là trong Ví dụ 4 cần sửa lại $M_1=d\cap\Delta$ .
  
Mỹ Hoa viết:

26/09/2012 9:10:30 PM at 9:10 pm

dạ, e học nâng cao ạ, có bao nhiêu dạng anh chị chỉ hết cho e đi ạ:d

gakkon viết:

21/06/2012 9:26:06 AM at 9:26 am

o? dang 1 sao dau bai khong cho toa do diem M ma van tinh duoc vecto MM1 & vecto MM2 the nhi?

- kvthanh viết:
  
  21/06/2012 9:51:57 AM at 9:51 am
  
  Cảm ơn bạn,
  Đúng là Ví dụ 1 thiếu $M(1;1;1)$

Lập phương trình đường thẳng trong không gian (p1)

Danh sách các phản hồi:

Trackbacks

Phản hồi của bạn Cancel reply

Tin bài mới nhất

Bài viết cùng chuyên mục

Đăng ký nhận bài viết mới qua email

Số người đã đăng ký theo dõi mathblog.org qua email

Bài giảng hình học

Lập phương trình của đường thẳng trong không gian (p2)

Lập phương trình đường thẳng trong không gian (p1)

Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Các chuyên đề luyện thi đại học môn toán

Về một bài toán cực trị hình học

Thể tích khối đa diện

Top Downloads

Liên kết

Thống kê