22/05/2013 2:38:42 PM

Bạn đang ở: Trang chủ / Bài giảng / Đại số / Lũy thừa

Lũy thừa

[tab name='Lý thuyết']
1. Luỹ thừa với số mũ nguyên
Định nghĩa
Luỹ thừa với số mũ nguyên dương:
Cho a là một số thực, n là một số nguyên dương. Luỹ thừa bậc n của a, kí hiệu là a^n, được xác định như sau
a^n=\underbrace{a.a.\ldots.a}_{n \mbox{ \scriptsize thừa số}}\quad a\in R, n\in N^*,
trong đó a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.
Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ 0:
Cho a\neq 0, n\in N^*. Khi đó
a^0=1; \ a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}.
Chú ý: 0^0 và 0^{-n} không có nghĩa.
2. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n\ge 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b, kí hiệu \sqrt[n]{b} nếu a^n=b.
Khi n lẻ, b\in R thì tồn tại duy nhất \sqrt[n]{b};
Khi n chẵn thì
với b<0: không có căn bậc n
với b=0: có một căn là \sqrt[n]{0}=0;
với b>0: có hai căn là \sqrt[n]{b} (dương) và -\sqrt[n]{b} (âm).
3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a>0 và số hữu tỉ r=\dfrac{m}{n}, trong đó m\in Z, n\in N^* và \dfrac{m}{n} là phân số tối giản. Khi đó,
a^r=a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}.
4. Luỹ thừa với số mũ vô tỉ
Cho số dương a, \alpha là một số vô tỉ và (r_n) là một dãy số hửu tỉ sao cho \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}r_n=\alpha. Khi đó
a^{\alpha}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a^{r_n}.
5. Các tính chất
Cho a,b>0; \alpha, \beta\in R. Khi đó
+) a^{\alpha}.a^{\beta}=a^{\alpha+\beta};(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta};
+) (ab)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}; a^{\alpha}>0;
+) \Big (\dfrac{a}{b}\Big )^{\alpha}=\dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}; \dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta};
+) Nếu a>1 thì \alpha>\beta khi và chỉ khi a^{\alpha}>a^{\beta};
+) Nếu 0<a<1 thì \alpha>\beta khi và chỉ khi a^{\alpha}<a^{\beta}
[/tab]
[tab name='Ví dụ']
Đối với luỹ thừa, các dạng bài tập chủ yếu là: tính toán, rút gọn biểu thức, so sánh các số,…
Phương pháp: Đây đều là các bài tập đơn giản, để giải các bài tập này ta chỉ cần sử dụng định nghĩa và các tính chất cơ bản của luỹ thừa đã nêu ở mục trước.
Chú ý: Để so sánh các căn thức, ta thường đưa chúng về cùng một căn bậc n nào đó để so sánh (thông thường n này là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số của các căn thức đó).
Sau đây là các ví dụ.
Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau
a) A=(0,04)^{-1,5}-(0,125)^{\frac{-2}{3}};
b) B=\big (6^{\frac{-2}{7}}\big )^{-7}+\big [(0,2)^{0,75} \big ]^{-4};
c) C=\dfrac{a^{\sqrt{5}+3}.a^{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}}{(a^{2\sqrt{2}-1})^{2\sqrt{2}+1}};
d) D=\Big (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\Big )^2 : \Big (b-2b\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\dfrac{b^2}{a}\Big ) \ (a,b>0).
Lời giải. Ta có
a) A=\big [\big (\dfrac{1}{5}\big )^2\big ]^{\frac{-3}{2}}-\big [2^{-3}\big ]^{\frac{-2}{3}}=5^3-2^2=121.
b) B=6^2+\big [\big (\dfrac{1}{5}\big )^{\frac{3}{4}}\big ]^{-4}=6^2+5^3=161.
c) C=\dfrac{a^{\sqrt{5}+3}.a^{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}}{(a^{2\sqrt{2}-1})^{2\sqrt{2}+1}} =\dfrac{a^{\sqrt{5}+3}.a^{5-\sqrt{5}}}{a^{(2\sqrt{2})^2-1^2}}=\dfrac{a^{\sqrt{5}+3+5-\sqrt{5}}}{a^{8-1}}=\dfrac{a^8}{a^7}=a.
d) Ta có
D=\Big (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\Big )^2 : \Big (b-2b\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\dfrac{b^2}{a}\Big )=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2:b\Big [1-2\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\Big (\sqrt{\dfrac{b}{a}}\Big )^2\Big ]
=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2:b\Big (1-\sqrt{b}{a}\Big )^2=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{b.\Big (\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\Big )^2}
=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{b.\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a}}=\dfrac{a}{b}.

Ví dụ 2. So sánh các cặp số sau
a) \sqrt[4]{6} và \sqrt[3]{5};
b) \sqrt{10} và \sqrt[3]{30};
c) \Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{\sqrt{10}-3} và 1;
d) e^{\sqrt{3}+1} và e^{\sqrt{7}}.

Lời giải.
a) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 12, ta có
\sqrt[4]{6}&=\sqrt[12]{6^3}=\sqrt[12]{216};
\sqrt[3]{5}&=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625}.

Mà 216<625 nên \sqrt[4]{6}<\sqrt[3]{5}.
b) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 6, ta có
\sqrt{10}=\sqrt[6]{10^3}=\sqrt[6]{1000};
\sqrt[3]{30}=\sqrt[6]{30^2}=\sqrt[6]{900}.
Mà 1000>900 nên \sqrt{10}>\sqrt[3]{30}.
c) Ta có \Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{\sqrt{10}-3}=\dfrac{\Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{\sqrt{10}}}{\Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{3}}.
Lại có 0<\pi<5 nên 0<\dfrac{\pi}{5}<1 và \sqrt{10}>3, do đó \Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{\sqrt{10}}<\Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{3}.
Mà \Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{3}>0 nên
\Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{\sqrt{10}-3}=\dfrac{\Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{\sqrt{10}}}{\Big (\dfrac{\pi}{5}\Big )^{3}}<1.
d) So sánh \sqrt{3}+1 và \sqrt{7}, ta có
(\sqrt{3}+1)^2-(\sqrt{7})^2=3+1+2\sqrt{3}-7=2\sqrt{3}-3.
Hơn nữa (2\sqrt{3})^2-3^2=4.3-9=3>0.
Do đó \sqrt{3}+1>\sqrt{7}, mà e>1 nên \ e^{\sqrt{3}+1}>e^{\sqrt{7}}.
Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức
a) A=\dfrac{a^{\frac{5}{2}}\big (a^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{-3}{2}}\big )}{a^{\frac{1}{2}}\big (a^{\frac{-1}{2}}-a^{\frac{3}{2}}\big )}, với a=\pi-3\sqrt{2};
b) B=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})\big [ a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}-(ab)^{\frac{1}{3}}\big ], với a=7-\sqrt{2}, b=\sqrt{2}+3.

Lời giải.
a) Rút gọn A, ta có
A=\dfrac{a^{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}}-a^{\frac{5}{2}+\frac{-3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}}-a^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}}=\dfrac{a^3-a}{1-a^2}=-a.
Do đó A=-(\pi-3\sqrt{2})=3\sqrt{2}-\pi.
b) Rút gọn B, ta có
B=\big (a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})\big [\big (a^{\frac{1}{3}}\big )^2-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+\big (b^{\frac{1}{3}}\big )^2\big ]=\big (a^{\frac{1}{3}}\big )^3+\big (b^{\frac{1}{3}}\big )^3=a+b.
Do đó B=(7-\sqrt{2})+(\sqrt{2}+3)=10.
[/tab]
[tab name='Bài tập']
Bài tập 1
Tính giá trị các biểu thức
a) A=4^{3+\sqrt{2}}.2^{1-\sqrt{2}}.2^{-3-\sqrt{2}};
b) B=\dfrac{12^{3+\sqrt{5}}}{4^{2+\sqrt{5}}.3^{1+\sqrt{5}}};
c) C=\big (49^{1+\sqrt{2}}-7^{2\sqrt{2}}\big ).7^{-1-2\sqrt{2}}.
Đáp số: a) A=16; b) B=36; c) C=\dfrac{48}{7}.
Bài tập 2.
Đơn giản các biểu thức
a) A=\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt{a}}}, (a>0);
b) B=\sqrt[7]{\dfrac{a}{b}\sqrt[5]{\dfrac{b}{a}}}, (a, b\not=0);
c) C=\big (a^{\frac{-1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\big ).a^{\frac{2}{3}}.\big (a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{-1}{3}}\big );
d) D=1+(a-1)(\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}+1)(a-\sqrt{a}+1), \ (a\ge 0).
Hướng dẫn:
a) A=a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{9}}.a^{\frac{1}{6}}=a^{\frac{11}{18}};
b) B=\big (\dfrac{a}{b}\big )^{\frac{1}{7}}.\big (\dfrac{b}{a}\big )^{\frac{1}{35}}=\big (\dfrac{a}{b}\big )^{\frac{1}{7}}.\big (\dfrac{a}{b}\big )^{\frac{-1}{35}}=\big (\dfrac{a}{b}\big )^{\frac{1}{7}-\frac{1}{35}}=\big (\dfrac{a}{b}\big )^{\frac{4}{35}};
c) C=a^{\frac{2}{3}}.\Big [\big (a^{\frac{2}{3}}\big )^2-\big (a^{\frac{-1}{3}}\big )^2\Big ]=a^{\frac{2}{3}}.\big (a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{-2}{3}}\big )=a^2-1;
d) Ta có
D=1+(a-1)[(\sqrt{a}+1)^2-(\sqrt[4]{a})^2](a-\sqrt{a}+1)
=1+(a-1)(a+\sqrt{a}+1)(a-\sqrt{a}+1)
=1+(a-1)[(a+1)^2-(\sqrt{a})^2]
=1+(a-1)(a^2+a+1)=1+(a^3-1)=a^3.
Bài tập 3.
Tính giá trị các biểu thức
a) A=a^\frac{1}{3}.a^\frac{1}{4}.\sqrt[12]{a^5} với a=3,14;
b) B=\dfrac{a^\frac{1}{4}-a^\frac{9}{4}}{a^\frac{1}{4}-a^\frac{5}{4}}-\dfrac{b^\frac{-1}{2}-b^\frac{3}{2}}{b^\frac{1}{2}+b^\frac{-1}{2}} với a=3-\sqrt{2}, b=\sqrt{2}-2.

Đáp số: a) A=a=3,14; b) B=a+b=1.
Bài tập 4.
So sánh các cặp số
a) \sqrt[3]{10} và \sqrt[5]{20};
b) \Big (\dfrac{1}{e}\Big )^{\sqrt{8}-3} và 1;
c) \Big (\dfrac{1}{8}\Big )^\pi và \Big (\dfrac{1}{8}\Big )^{3,14};
d) \Big (\dfrac{1}{\pi}\Big )^{1,4} và \pi^{-\sqrt{2}}.

[/tab]

[end_tabset]

PDF Creator    Chia sẻ hoặc lưu trữ bài viết dưới định dạng file PDF:   
Mục: Đại số Thẻ: Đăng bởi 26 phản hồi 27/01/2012 4:30:08 PM

Danh sách các phản hồi:

  1. ho ngoc y viết:
    02/09/2012 12:39:45 PM at 12:39 pm

    Thầy giải giúp em 2 bài đây nữa nhé thầy:
    Giải bất phương trình:
    a) \sqrt{x+1}+\sqrt[3]{5x-7}+\sqrt[4]{7x-5}+\sqrt[5]{13x-7}<8 ;

    b) 2x+\sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^{2}+7x}<35 ;

    Em cảm ơn thầy nhé

    Reply
  2. ho ngoc y viết:
    30/08/2012 9:05:57 PM at 9:05 pm

    thầy ơi, giúp em bài tập đây nhé:
    \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}-\sqrt{x-1}=10

    Reply
  3. ho ngoc y viết:
    13/08/2012 8:13:23 AM at 8:13 am

    Thầy giải giúp em câu 1 đi thầy. Em cảm ơn nhé.

    Reply
  4. ho ngoc y viết:
    10/08/2012 5:42:47 PM at 5:42 pm

    Mà sao bài hồi bữa giờ em viết đâu mất rồi thầy

    Reply
  5. tranmai viết:
    10/08/2012 10:35:31 AM at 10:35 am

    thay giup e bai nay nha thay.
    1/9.27^x=3

    Reply
  6. ho ngoc y viết:
    09/08/2012 9:53:22 PM at 9:53 pm

    Dạ. thầy hướng dẫn cho em câu 1 nhé

    Reply
  7. ho ngoc y viết:
    09/08/2012 11:42:24 AM at 11:42 am

    Thầy giải giúp em bài 1 nhé. Em bó tay bài đó rồi

    Reply
  8. ho ngoc y viết:
    08/08/2012 1:06:15 PM at 1:06 pm

    Em gõ lại câu 1 nhé:
    Chứng minh:
    \sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+\frac{1(2^{x}-2^{-x})^{2}}{4}}}{1+\sqrt{1+\frac{1(2^{x}-2^{-x})^{2}}{4}}}}
    = \frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}

    Reply
  9. ho ngoc y viết:
    08/08/2012 3:55:46 AM at 3:55 am

    Thầy ơi, câu 1 thêm diều kiện nữa là x<0.
    Và chỗ trong căn ở phía trên tử "2^{x-} sửa thành 2^{x}

    Reply
    • thanhkv viết:
      08/08/2012 11:31:34 AM at 11:31 am

      Để có thể xem công thức gõ đúng chưa mình đã thêm công cụ ở dưới khung nội dung phản hồi, em copy công thức vào đó và nhìn sang bên cạnh sẽ biết công thức đúng chưa, đỡ phải gửi lại.

      Reply
  10. ho ngoc y viết:
    08/08/2012 3:43:23 AM at 3:43 am

    Thầy ơi, thầy giúp em bài toán này chút nhé:
    CMR
    Câu 1:
    A= \sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+\frac{1(2^{x-}-2^{-x})}{4}}}{1+\sqrt{\frac{1(2^{x}-2^{-x})}{4}}}} = \frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}
    Câu 2:
    B = \sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}}
    CMR: \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} = \sqrt[3]{B^{2}}

    Reply
  11. Uchiha luffy viết:
    07/08/2012 4:12:01 AM at 4:12 am

    thầy ơi cho em hỏi phép tính này : a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{}3}a^{\frac{1}{}2}=a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{}3}(b^{\frac{1}{}2-\frac{1}{}3}+a^{\frac{1}{}2-\frac{1}{}3}) mình đặt nhân tử chung đúng hay sai . mà em nhân ngược lại ko ra kết quả cũ :X giúp em với

    Reply
  12. tôn thất học viết:
    07/08/2012 12:49:19 AM at 12:49 am

    giờ em biết gõ latex rồi :D . thầy hướng dẫn cho em bài này với thầy. em cảm ơn \left \{ 1-2\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{a}{b} \right \}\left ( a^{\frac{1}{2}}- b^{\frac{1}{2}}\right )^{2}

    Reply
  13. tôn thất học viết:
    07/08/2012 12:47:12 AM at 12:47 am

    \left \{ 1-2\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{a}{b} \right \}\left ( a^{\frac{1}{2}}- b^{\frac{1}{2}}\right )^{2}

    Reply
  14. tôn thất học viết:
    07/08/2012 12:44:07 AM at 12:44 am

    thầy ơi hướng dẫn cho em bài này với: A = \left \{ 1-2\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{a}{b} \right \}\left ( a^{\frac{1}{2}}- b^{\frac{1}{2}}\right )^{2}

    Reply
  15. phuong quynh viết:
    23/07/2012 10:38:07 AM at 10:38 am

    sao khong co bai ham so luy thua?

    Reply

Công thức toán trên mathblog.org được gõ theo cú pháp: [latex] công thức[/latex] , ở đó "công thức" được viết dạng mã LaTeX. Nếu bạn chưa biết về LaTeX hãy click vào đây để xem hướng dẫn. Hoặc đơn giản hơn bạn có thể sử dụng công cụ tạo công thức trực tiếp trong khung dưới theo cách sau:
Bước 1. Bấm vào nút công thức cần viết, trong khung chữ nhật phía dưới sẽ hiện mã LaTeX của công thức và hình ảnh kết quả bên cạnh.
Bước 2. Sau khi soạn xong công thức, copy toàn bộ đoạn mã LaTeX trong khung chữ nhật và dán vào khung nội dung phản hồi. Chú ý là đặt công thức giữa hai thẻ [latex] ... [/latex]

Phản hồi của bạn

*

Đăng ký hiện ảnh đại diện khi gửi phản hồi tại đây

Bài viết cùng chuyên mục

Trang chủ | Giới thiệu | Liên hệ | Hỏi đáp | Sơ đồ trang | Đọc tin RSS