Nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỷ

Tiếp theo bài viết về phương pháp nguyên hàm từng phần, mathblog.org xin gửi đến bạn đọc bài viết về nguyên hàm, tích phân của hàm phân thức hữu tỷ dạng $\int\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , ở đây $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức của $x$
Trong bài viết này, ta chỉ xét trường hợp $Q(x)$ có bậc 1 hoặc 2. Đây là các trường hợp thường xuất hiện trong các đề thi đại học cao đẳng.

Dạng 1. $I_1=\int \dfrac{P(x)}{ax+b}dx$

Cách giải.
Nếu bậc $P(x)\geq 1$ thì chia $P(x)$ cho $ax+b$ ta được $\dfrac{P(x)}{ax+b}=Q(x)+\dfrac{\alpha}{ax+b}$
Chú ý: $\int\dfrac{\alpha}{ax+b}dx=\dfrac{1}{a}\alpha\ln|ax+b|$

Dạng 2. $I_2=\int\dfrac{P(x)}{ax^2+bx+c}dx$

Cách giải.
Nếu bậc $P(x)\geq 2$ thì chia $P(x)$ cho $ax^2+bx+c$ ta được $\dfrac{P(x)}{ax^2+bx+c}=R(x)+\dfrac{\alpha x+\beta}{ax^2+bx+c}$ .
Như vậy việc tính $I_2$ luôn qui được về dạng $J=\int\dfrac{\alpha x+\beta}{ax^2+bx+c}$ (tức là qui về dạng tử số là nhị thức bậc nhất)
Để tính $J$ , ta xét 3 trường hợp sau:
Đặt $\Delta=b^2-4ac$ là biệt thức của tam thức bậc hai $ax^2+bx+c$
Trường hợp 1. $\Delta>0$ .
Khi đó ta luôn phân tích được $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ , với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của tam thức
Tiếp theo ta phân tích $\dfrac{\alpha x+\beta}{ax^2+bx+c}=\dfrac{A}{x-x_1}+\dfrac{B}{x-x_2}$ bằng phương pháp đồng nhất thức hoặc phương pháp giá trị riêng (xem trong các ví dụ dưới đây).
Trường hợp 2. $\Delta=0$
Phân tích $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$
và $\dfrac{\alpha x+\beta}{ax^2+bx+c}=\dfrac{A}{(x-x_0)^2}+\dfrac{B}{x-x_0}$
Trường hợp 3. $\Delta<0$
Phân tích $\dfrac{\alpha x+\beta}{ax^2+bx+c}=\dfrac{A(2ax+b)}{ax^2+bx+c}+\dfrac{k}{ax^2+bx+c}$ . Như vậy việc tính $J$ qui về tính $L=\int\dfrac{k}{ax^2+bx+c}dx$ , với $k$ là một hằng số.
Do $\Delta<0$ và giả sử $a>0$ nên $ax^2+bx+c$ luôn viết thành dạng sau
$ax^2+bx+c=(mx+n)^2+l^2$ . Đến đây để tính $L$ , ta dùng phương pháp đổi biến kiểu 1, đặt $\dfrac{mx+n}{l}=\tan t$ . (Phương pháp đổi biến kiểu I sẽ được trình bày sau bài viết này).
Các ví dụ
Ví dụ 1.
Tính $I=\int\dfrac{x^2+3x-1}{-2x+3}dx$
Giải.
$I=\int\left(-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{9}{4}\right)dx+\dfrac{23}{4}\int\dfrac{1}{-2x+3}dx$
$=-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{9}{4}x-\dfrac{23}{8}\ln|3-2x|+C$
Ví dụ 2.
Tính $I=\int\dfrac{dx}{-2x^2-x+1}$
Giải. Do $-2x^2-x+1=(-2x+1)(x+1)$ nên ta phân tích
$\dfrac{1}{-2x^2-x+1}=\dfrac{A}{-2x+1}+\dfrac{B}{x+1}\Rightarrow 1=A(x+1)+B(-2x+1)$
Cho $x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=\dfrac{2}{3}$
Cho $x=-1\Rightarrow B=\dfrac{1}{3}$
Vậy
$I=\int\dfrac{dx}{(-2x+1)(x+1)}=\dfrac{2}{3}\int\dfrac{dx}{-2x+1}+\dfrac{1}{3}\int\dfrac{dx}{x+1}$
$=-\dfrac{1}{3}\ln|1-2x|+\dfrac{1}{3}\ln|x+1|+C=\dfrac{1}{3}\ln\left|\dfrac{x+1}{1-2x}\right|+C$
Ví dụ 3.
Tính $I=\int\dfrac{dx}{x^2-4x+4}$
Giải.
$I=\int\dfrac{dx}{(x-2)^2}=-\dfrac{1}{x-2}+C$
Ví dụ 4.
Tính $I=\int\dfrac{2x+3}{4x^2-4x+1}dx$
Giải.
Ta phân tích $\dfrac{2x+3}{4x^2-4x+1}=\dfrac{A}{(2x-1)^2}+\dfrac{B}{2x-1}$
$\Rightarrow 2x+3=A+B(2x-1)$
Cho $x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=4$
Cho $x=0\Rightarrow 3=4-B\Rightarrow B=1$
Vậy $I=4\int\dfrac{dx}{(2x-1)^2}+\int\dfrac{dx}{2x-1}=-\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{2}\ln|2x-1|+C$
Ví dụ 5.
Tính $I=\int\dfrac{x^3+5x^2+3x-7}{x^2+6x+9}dx$
Giải.
Chia $x^3+5x^2+3x-7$ cho $x^2+6x+9$ ta được
$\dfrac{x^3+5x^2+3x-7}{x^2+6x+9}=x-1+\dfrac{2}{x^2+6x+9}$
Do đó $I=\int\left(x-1+\dfrac{2}{x^2+6x+9}\right)dx=\dfrac{x^2}{2}-x+2\int\dfrac{dx}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{x^2}{2}-x-\dfrac{2}{x+3}+C$
Ví dụ 6.
Tính $I=\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{xdx}{x^2+x+1}$
Giải.
Ta phân tích $\dfrac{x}{x^2+x+1}=\dfrac{A(2x+1)}{x^2+x+1}+\dfrac{B}{x^2+x+1}$
$\Rightarrow x=2Ax+A+B\Rightarrow \begin{cases} 2A=1&\\ A+B=0& \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} A=\dfrac{1}{2}&\\ B=-\dfrac{1}{2}& \end{cases}$
Suy ra $I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx-\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^2+x+1}$
Để tính tích phân thứ nhất ta dùng phương pháp đổi biến kiểu II, còn để tính tích phân thứ hai ta dùng phương pháp đổi biến kiểu I.
Đặt $u=x^2+x+1\Rightarrow du=(2x+1)dx$
Đổi cận $x=-1\Rightarrow u=1;x=1\Rightarrow u=3$
Suy ra $\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}\dfrac{du}{u}$
$=\dfrac{1}{2}\ln|u|\left|_{1}^{3}=\dfrac{1}{2}\ln 3\right.$
Tính tiếp tích phân
$\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^2+x+1}=\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$
Đặt $x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan t, t\in \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$
$\Rightarrow dx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{1}{\cos t}dt$
Đổi cận $x=-1\Rightarrow t=-\dfrac{\pi}{6}; x=1\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{3}$
T a có $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan t\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}(1+\tan^2t)=\dfrac{3}{4\cos^2t}$
Do đó
$\int\limits_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^2+x+1}=\int\limits_{\frac{-\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\cos^2t}}{\frac{3}{4\cos^2t}}dt=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\int\limits_{\frac{-\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}dt=\dfrac{\sqrt{3}\pi}{3}$
Vậy $I=\dfrac{1}{2}\ln 3-\dfrac{\sqrt{3}\pi}{6}$ .
Bài tập đề nghị
Tính $I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{dx}{x^2-2x+2}$
ĐS: $I=\dfrac{\pi}{4}$

Danh sách các phản hồi:

Lâm Thuận Phong viết:

27/03/2013 11:20:11 AM at 11:20 am

Giải cho em bài này:
(x^2 – 1)/(x^4 + x^2 + 1)

- kvthanh viết:
  
  28/03/2013 10:22:49 PM at 10:22 pm
  
  $I=\int\dfrac{x^2-1}{x^4+x^2+1}dx=\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{x^2+1+\dfrac{1}{x^2}}dx$
  $=\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-1}dx$
  Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}\Rightarrow dt=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)dx$
  Do đó, $I=\int \dfrac{dt}{t^2-1}=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dt}{t-1}-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{dt}{t+1}$
  $=\dfrac{1}{2}\ln |t-1|-\dfrac{1}{2}\ln |t+1|=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|+C=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\right|+C$
  
Ruby Chan viết:

20/01/2013 12:16:33 AM at 12:16 am

Giả giùm em bài này vs.
nguyên hàm của (4x-3)/(x^3 + 4x)
cảm ơn nhiều ạk

- kvthanh viết:
  
  21/01/2013 11:02:47 AM at 11:02 am
  
  Bạn phân tích $\dfrac{4x-3}{x^3+4x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B2x}{x^2+4}+\dfrac{C}{x^2+4}$ bằng phương pháp đồng nhất thức. Nguyên hàm thứ 3 đổi biến $x=2\tan t$ .
  
pham quoc huu viết:

14/11/2012 6:31:20 PM at 6:31 pm

giai nhanh

tran quang khai viết:

17/08/2012 10:06:59 AM at 10:06 am

giai jup e bai nay nha

- kvthanh viết:
  
  18/08/2012 9:27:46 AM at 9:27 am
  
  Bạn định hỏi về bài tập nào?

Nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỷ

Danh sách các phản hồi:

Trackbacks

Phản hồi của bạn Cancel reply

Tin bài mới nhất

Bài viết cùng chuyên mục

Đăng ký nhận bài viết mới qua email

Số người đã đăng ký theo dõi mathblog.org qua email

Bài giảng giải tích

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỷ

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị và thỏa mãn thêm các điều kiện khác (tiếp)

Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị và thỏa mãn thêm các điều kiện khác

Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số

Top Downloads

Liên kết

Thống kê