Bài viết trước đã nói về phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa. Trong bài viết này, chúng ta nói về phương pháp đồ thị và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải PT mũ và lôgarit.

Phương pháp đồ thị

PP: Vẽ đồ thị của các hàm số trong phương trình cần giải trên cùng một hệ trục tọa độ. Sau đó tìm giao điểm của chúng và biện luận, kết luận nghiệm của phương trình là hoành độ của các giao điểm đó.
Ví dụ 1.
Giải phương trình \ $\Big (\dfrac{1}{2}\Big )^x=x-\dfrac{1}{2}.$
Lời giải. Vẽ đồ thị hàm số $y=\Big (\dfrac{1}{2}\Big )^x$ và đường thẳng $y=x-\dfrac{1}{2}$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$ . Ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ $x=1$ . Thử lại ta thấy giá trị này thoả mãn phương trình đã cho. Mặt khác, $y=\Big (\dfrac{1}{2}\Big )^x$ là hàm số nghịch biến, $y=x-\dfrac{1}{2}$ là hàm số đồng biến nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=1$ .

Nhận xét. Việc vẽ đồ thị thực chất là để áng khoảng và dự đoán nghiệm (nếu có) của phương trình. Sau khi dự đoán được nghiệm, ta thử trực tiếp vào phương trình, nếu thỏa mãn thì kết luận ngay (như lời giải trên) – khi đó nhờ đồ thị ta biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau bằng đồ thị

$\mbox{a) } \Big (\dfrac{1}{3}\Big )^x=\dfrac{-3}{x}; \qquad \mbox{b) } \log_4x=\dfrac{1}{x}; \qquad \mbox{c) } 16^x=\log_{\frac{1}{2}}x.$

Hướng dẫn. Giải tương tự ví dụ trên.

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit

PP: Sử dụng các tính chất cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit, đó là

1) Hàm số luỹ thừa $y=a^x \ (a>0, a\not=1)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $a>1$ , nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nếu $0<a<1$ .
2) Hàm số lôgarit $y=\log_ax \ (a>0, a\not=1)$ đồng biến trên $(0; +\infty)$ nếu $a>1$ , nghịch biến trên $(0; +\infty)$ nếu $0<a<1$ .
3) Các hàm số mũ $y=a^x$ và hàm số luỹ thừa $y=\log_ax$ đều liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ 2.
Giải các phương trình

$\mbox{a) } 3^x+4^x=5^x; \qquad \qquad \mbox{b) } 2^{x+1}-4^x=x-1.$

Lời giải a) Chia cả hai vế của phương trình cho $5^x>0$ , ta có

$\Big (\dfrac{3}{5}\Big )^x+\Big (\dfrac{4}{5}\Big )^x=1.$

Xét $f(x)=\Big (\dfrac{3}{5}\Big )^x+\Big (\dfrac{4}{5}\Big )^x$ . Ta có $f'(x)=\Big (\dfrac{3}{5}\Big )^x\ln\dfrac{3}{5}+\Big (\dfrac{4}{5}\Big )^x\ln\dfrac{4}{5}<0, \forall x$ .
Do đó $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Mặt khác $f(2)=1$ . Do đó $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Phương trình tương đương với

$2^x(2-2^x)=x-1.$

Với $x=1$ thì phương trình trên đúng, do đó $x=1$ là nghiệm của phương trình.

Nếu $x>1$ thì $2^x>2$ và $x-1>0$ , do đó $2^x(2-2^x)<0<x-1$ . Phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu $x<1$ thì $2^x<2$ và $x-1<0$ , do đó $2^x(2-2^x)>0>x-1$ . Phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$ .

Ví dụ 3.
Giải các phương trình

$\mbox{a) } \lg (x-4)=5-x; \qquad\qquad \mbox{ b) } \log_{\frac{1}{2}}(x+2)=2x-1.$

Lời giải. a) Điều kiện $x-4>0\td x>4$ .
Đặt $f(x)=\lg (x-4), g(x)=5-x$ , phương trình đã cho trở thành

$f(x)=g(x).$

Ta có $f(x)$ đồng biến trên $(4; +\infty)$ và $g(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Hơn nữa $f(5)=g(5)$ , đo đó $x=5$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Tương tự. ĐS $x=0$ .