Mũ hoá, lôgarit hoá
Bài viết trước đã nói về việc giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Bài viết này chúng ta sẽ nói đến một phương pháp khác là mũ hóa và lôgarit hóa. Trong một số phương trình, để đưa về cùng cơ số hoặc khử biểu thức mũ, lôgarit chứa ẩn số, ta thường lấy mũ hoặc lôgarit các vế. Ta áp dụng các công thức
trong đó 
.
Ví dụ
Giải các phương trình
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
.
Lời giải a) Lấy lôgarit cơ số 
hai vế, ta có phương trình tương đương với
![\[\log_3(3^x.2^{x^2})=\log_31\Leftrightarrow \log_33^x+\log_32^{x^2}=0\Leftrightarrow x+x^2\log32=0.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1255c8edbf8faf40d9a141f527d97fd3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Do đó phương trình có hai nghiệm là 
.
b) Lấy lôgarit cơ số 
hai vế ta được phương trình tương đương
![\[\log_22^{3^x}=\log_23^{2^x}\Leftrightarrow 3^x=2^x.\log_23\Leftrightarrow \Big (\dfrac{3}{2}\Big )^x=\log_23.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92811d0636082ba9779569745f1cae35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Do đó 
là nghiệm của phương trình.
c) Phương trình đã cho tương đương với
![\[2^{5.\frac{x+5}{x-7}}=2^{-2}.5^{3.\frac{x+17}{x-3}}\Leftrightarrow 2^{\frac{7x+11}{x-7}}=5^{\frac{3x+51}{x-3}}.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea5abb12e056c028f2e4e2bb90791a24_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lấy lôgarit cơ số hai vế ta được
Phương trình bậc hai trên có
![\[\Delta '=1296\log_2^25-2448\log_25+256>0,\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4369a0b334ac257a9467769f8cc6cccd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
nên có nghiệm
![\[x=\dfrac{5+15\log_25\pm\sqrt{\Delta '}}{7-3\log_25}.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1eae7ec8380791448a9174752fd37c5d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hai nghiệm này đều thoả mãn vì chúng đều khác 
và .
d) Lấy lôgarit cơ số 
hai vế ta có
Vậy nghiệm của phương trình là 
.
Ví dụ
Giải các phương trình
![\[\mbox{a) } \log_x\sqrt[10]{2}=-0,01;\qquad\qquad \qquad \mbox{b) } \log_{x-2}(2x)=3.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f6598d60cc80e32d93faf586a779129_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lời giải a) Điều kiện 
. Mũ hoá hai vế lên bằng cơ số 
, ta có
![\[x^{\log_x\sqrt[10]{2}}=x^{-0,01}\Leftrightarrow 2^{\frac{1}{10}}=x^{\frac{-1}{100}}.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2362f2f1cad6f123e28605917a36317b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Do đó
![\[x=\Big (2^{\frac{1}{10}}\Big )^{-100}=2^{-10}=\dfrac{1}{1024}.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78ae0e54514668256ca98856b62bc2f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
b) Điều kiện 
. Mũ hoá hai vế bởi cơ số 
, ta có
![\[2x=(x-2)^3\Leftrightarrow x^3-6x^2+12x-8=0\Leftrightarrow (x-4)(x^2-2x+2)=0.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1c9e579205de9f0004b7357c0348860d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vì 
nên 
hay 
(thoả mãn).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là .
Bài tập đề nghị
Bài tập
Giải các phương trình
a) 
;
b) 
;
c) ![x^{3\lg^3x-\frac{2}{3}\lg x}=100\sqrt[3]{10}](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2294d056a431828d5604c9ae4edf0099_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
;
d) 
.
Hướng dẫn a) Điều kiện 
. Ta có
![\[\lg x^{\lg 9}=\lg 9.\lg x=\lg x.\lg 9=\lg 9^{\lg x}.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9ce09e3e4f1ca85f6d02661d873f3c6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Do đó 
. ĐS: 
.
b) Lôgarit cơ số hai vế. ĐS Phương trình vô nghiệm.
c) Lôgarit cơ số hai vế, đặt 
. ĐS 
.
d) Lấy lôgarit cơ số bất kì cả hai vế, đưa về phương trình bậc hai của .
Giai phuong trinh log4(2log3(1+log2(1+3log2(x)
ptx(1+xlog32)=0 thi 1nghiem x=0 .va tính trong ngoac chuyen ve thi ta co nghiệm thu hai như trên
LƯU Ý:log32 la log cơ số 3 cua 2