18/05/2013 6:30:35 PM

Bạn đang ở: Trang chủ / Bài giảng / Hình học / Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Bài toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là bài toán cơ bản thường xuất hiện trong các đề thi TN THPT và thi Đại học, Cao đẳng. Mathblog.org xin giới thiệu các bạn cách giải bài toán này qua ví dụ dưới đây.

Ví dụ
Cho \Delta_1: \begin{cases} x=8+t&\\ y=5+2t&\\ z=8-t \end{cases} và \Delta_2: \begin{cases} x=3-7t'&\\ y=1+2t'&\\ z=1+3t' \end{cases}
a) Chứng minh rằng \Delta_1 và \Delta_2 chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của \Delta_1 và \Delta_2.
Lời giải.
a) (Giải theo chương trình cơ bản)
\Delta_1 có VTCP \overrightarrow{u_1}=(1;2;-1), \Delta_2 có VTCP \overrightarrow{u_2}=(-7;2;3).
\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]=(8;4;16)\neq \overrightarrow{0}\Rightarrow \Delta_1,\Delta_2 chéo nhau hoặc cắt nhau.
Xét hệ \begin{cases} 8+t=3-7t'& (1)\\ 5+2t=1+2t'& (2)\\ 8-t=1+3t' & (3) \end{cases}
Hệ gồm (1),(2)\Leftrightarrow \begin{cases} t=-\dfrac{19}{8}&\\ t'=-\dfrac{3}{8}& \end{cases} không thỏa mãn (3)\Rightarrow hệ vô nghiệm.
Vậy \Delta_1 và \Delta_2 chéo nhau.
Chú ý: Đối với chương trình nâng cao, ta tính \left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1M_2}, trong đó M_1\in\Delta_1,M_2\in\Delta_2.
\Delta_1 và \Delta_2 chéo nhau \Leftrightarrow\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1M_2}\neq 0

b) Gọi \Delta là đường vuông góc chung của \Delta_1 và \Delta_2.
Giả sử \Delta\cap \Delta_1=M,\Delta\cap \Delta_2=N
\Rightarrow M(8+t;5+2t;8-t), N(3-7t';1+2t';1+3t')
Do \begin{cases} \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{u_1}&\\ \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{u_2}& \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{MN}\overrightarrow{u_1}=0&\\ \overrightarrow{MN}\overrightarrow{u_2}=0& \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} -6t-6t'=6&\\ 6t+62t'=-6& \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=1&\\ t'=0& \end{cases}\Rightarrow M=(7;3;9)
\Delta có VTCP \overrightarrow{MN}=(-4;-2;-8)=-2(2;1;4)
PTTS của \Delta: \begin{cases} x=7+2t&\\ y=3+t&\\ z=9+4t \end{cases}
Chú ý: Trong một bài tập mà có nhiều đường thẳng viết dạng tham số thì các tham số phải ký hiệu khác nhau tránh sai lầm khi làm bài, chẳng hạn như trong ví dụ trên ta dùng hai tham số t,t'.
Bài tập đề nghị
Cho A(4;1;4), B(3;3;;1),C(1;5;5), D(1;1;1;).
a) Chứng minh rằng A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của AC và BD.
ĐS: \Delta: \begin{cases} x=\dfrac{43}{18}-t&\\ y=\dfrac{37}{11}+t&\\ z=\dfrac{73}{18}-7t \end{cases}

Fax Online    Chia sẻ hoặc lưu trữ bài viết dưới định dạng file PDF:   
Mục: Hình học Thẻ: , Đăng bởi 7 phản hồi 31/05/2012 5:25:31 PM

Danh sách các phản hồi:

  1. ha nguyen viết:
    06/05/2013 8:15:06 PM at 8:15 pm

    dung la bac Thanh Nam chang hieu gi ve hinh kg ca

    Reply
  2. filonfolo viết:
    02/04/2013 8:49:14 PM at 8:49 pm

    cho e hỏi có thể hướng dẫn e cách viết đường vuông góc chung bằng mặt cách giao 2 mặt phẳng đc ko ạ. Nếu có hình càng tốt, e có đọc tài liệu về cách này nhưng ko hiểu! Thanks

    Reply
    • kvthanh viết:
      02/04/2013 10:26:55 PM at 10:26 pm

      vuonggocchung
      Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi d là đường vuông góc chung của a và b.
      Do a và d cắt nhau nên chúng nằm trong (P), b và d cắt nhau nên chúng nằm trong (Q).
      (P) và (Q) được xác định như sau:
      (P) chứa a nên \overrightarrow{n}_P\perp \overrightarrow{u}_a
      (P) chứa d nên \overrightarrow{n}_P\perp \overrightarrow{u}_d
      \Rightarrow \overrightarrow{n}_P=[\overrightarrow{u}_a;\overrightarrow{u}_d]
      (Q) chứa b nên \overrightarrow{n}_Q\perp \overrightarrow{u}_b
      (Q) chứa d nên \overrightarrow{n}_Q\perp \overrightarrow{u}_d
      \Rightarrow \overrightarrow{n}_Q=[\overrightarrow{u}_b;\overrightarrow{u}_d]
      Trong đó \overrightarrow{u}_d=[\overrightarrow{u}_a;\overrightarrow{u}_b]
      Sau khi phân tích như trên xong ta viết PT mp(P), PT mp(Q) và PT d là giao tuyến của (P) và (Q).
      Cách giải này dài và phức tạp hơn cách giải trên nhưng tốt cho khả năng tưởng tượng hình không gian. Do đó ta cũng nên biết thêm cách giải này, cảm ơn bạn đã quan tâm.

      Reply
  3. Thanh Nam viết:
    26/03/2013 5:15:58 PM at 5:15 pm

    Như chúng ta đều biết, trong không gian hai đường chéo nhau hay cắt nhau chúng đều có vị trí tương đối là vuông góc với nhau. Như vậy khi viết đường thẳng thứ ba vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau, đường vuông góc chung này có thể cắt và có thể không cắt hai đường thẳng này. Vậy bài giải trên có thể nói chỉ đúng trong TH đường thứ ba này vuông góc và cắt hai đường thẳng, bài giải chưa thực sự chặt chẽ.

    Reply
    • kvthanh viết:
      26/03/2013 10:12:53 PM at 10:12 pm

      Cảm ơn bạn Nam đã có phản hồi cho bài viết,
      Tuy nhiên trong phản hồi của bạn có nhiều vấn đề nhầm lẫn cơ bản (không biết bạn đã đọc kỹ lý thuyết chưa)
      Thứ nhất,
      Câu “trong không gian hai đường chéo nhau hay cắt nhau chúng đều có vị trí tương đối là vuông góc với nhau” cần phải sửa lại là “Trong không gian, hai dường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau”
      Bạn xem lại về vị trí tương đối của hai đt trong không gian, chỉ có 4 TH: song song, cắt nhau, trùng nhau và chéo nhau.
      Thứ hai,
      “Như vậy khi viết đường thẳng thứ ba vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau, đường vuông góc chung này có thể cắt và có thể không cắt hai đường thẳng này”. Câu này chứng tỏ bạn chưa hiểu thế nào là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, bạn xem lại định nghĩa trong sách GK nhé.
      Thực ra một trong những bí quyết để học tốt môn toán là hiểu cặn kẽ lý thuyết giáo khoa. Khi đó mọi vấn đề sẽ đơn giản hơn.
      Chúc bạn thành công.

      Reply
    • LeHuuThanh viết:
      17/04/2013 9:49:25 PM at 9:49 pm

      ông Thanh Nam chẳng hiểu gì

      Reply

Trackbacks

  1. Lập phương trình của đường thẳng trong không gian (p2) - mathblog.org says:
    07/06/2012 12:44:30 AM at 12:44 am

    [...] góc chung của và . Hướng dẫn. Trước tiên ta tìm đoạn vuông góc chung như trong Bài giảng viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nh… Từ đó ta tìm được đoạn vuông góc chung , với và . Tâm của mặt cầu là [...]

    Reply

Công thức toán trên mathblog.org được gõ theo cú pháp: [latex] công thức[/latex] , ở đó "công thức" được viết dạng mã LaTeX. Nếu bạn chưa biết về LaTeX hãy click vào đây để xem hướng dẫn. Hoặc đơn giản hơn bạn có thể sử dụng công cụ tạo công thức trực tiếp trong khung dưới theo cách sau:
Bước 1. Bấm vào nút công thức cần viết, trong khung chữ nhật phía dưới sẽ hiện mã LaTeX của công thức và hình ảnh kết quả bên cạnh.
Bước 2. Sau khi soạn xong công thức, copy toàn bộ đoạn mã LaTeX trong khung chữ nhật và dán vào khung nội dung phản hồi. Chú ý là đặt công thức giữa hai thẻ [latex] ... [/latex]

Phản hồi của bạn

*

Đăng ký hiện ảnh đại diện khi gửi phản hồi tại đây

Bài viết cùng chuyên mục

Trang chủ | Giới thiệu | Liên hệ | Hỏi đáp | Sơ đồ trang | Đọc tin RSS