Tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tiếp theo bài giảng Nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỷ, mathblog.org tiếp tục trình bày với bạn đọc bài giảng về tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

$\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

Cách giải.
Sử dụng tính chất cơ bản $\int\limits_{a}^{b}g(x)dx=\int\limits_{a}^{c}g(x)dx+\int\limits_{c}^{b}g(x)dx$
Cách 1. Xét dấu biểu thức $f(x)$ để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 2. (Không cần xét dấu). Giải phương trình $f(x)=0$ trên $(a;b)$ . Giả sử trên khoảng $(a;b)$ phương trình có nghiệm $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$ .
Do trên mỗi khoảng $(x_i;x_{i+1})$ biểu thức $f(x)$ luôn mang cùng một dấu nên ta có
$\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx=\int\limits_{a}^{x_1}|f(x)|dx+\int\limits_{x_1}^{x_2}|f(x)|dx+\ldots+\int\limits_{x_n}^{b}|f(x)|dx$
$=\left|\int\limits_{a}^{x_1}f(x)dx\right|+\left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx\right|+\ldots+\left|\int\limits_{x_n}^{b}f(x)dx\right|$
Các ví dụ.
Ví dụ 1. Tính $I=\int\limits_{0}^{2}|1-x|dx$
Giải.
Cách 1.
$1-x=0\Leftrightarrow x=1$
Vì $1-x<0$ với $x\in (1;2)$ và $1-x>0$ với $x\in (0;1)$ nên ta có
$I=\int\limits_{0}^{1}(1-x)dx+\int\limits_{1}^{2}(x-1)dx=\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}+\left(\dfrac{x^2}{2}-x\right)\Big|_{1}^{2}=1$
Cách 2.
Giải phương trình $1-x=0\Leftrightarrow x=1\in (0;2)$
$I=\int\limits_{0}^{1}|1-x|dx+\int\limits_{1}^{2}|1-x|dx=\left|\int\limits_{0}^{1}(1-x)dx\right|+\left|\int\limits_{1}^{2}(1-x)dx\right|$
$=\left|\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}\right|+\left|\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{1}^{2}\right|$
$=\left|1-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{2}-1\right|=1$
Ví dụ 2. Tính $I=\int\limits_{0}^{2}|x^2-x|dx$
Giải
$x^2-x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$
$I=\int\limits_{0}^{1}|x^2-x|dx+\int\limits_{1}^{2}|x^2-x|dx=\left|\int\limits_{0}^{1}(x^2-x)dx\right|+\left|\int\limits_{1}^{2}(x^2-x)dx\right|$
$=\left|\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}\right|+\left|\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{1}^{2}\right|=\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)\right|$
$=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1$
Ví dụ 3. Tính $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos 2x}dx$
Giải.
Ta có $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{2\sin^2x}dx=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi}|\sin x|dx$
Giải phương trình $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\Rightarrow$ có nghiệm $x=\pi\in (0;2\pi)$
Do đó $I=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\pi}|\sin x|dx+\sqrt{2}\int\limits_{\pi}^{2\pi}|\sin x|dx$
$=\sqrt{2}\left|\int\limits_{0}^{\pi}\sin xdx\right|+\sqrt{2}\left|\int\limits_{\pi}^{2\pi}\sin xdx\right|$
$=\sqrt{2}\left|(-\cos x)\Big|_{0}^{\pi}\right|+\sqrt{2}\left|(-\cos x)\Big|_{\pi}^{2\pi}\right|=\sqrt{2}|-(-1)+1|+\sqrt{2}|-1-1|=4\sqrt{2}$
Ví dụ 4. Tính $I=\int\limits_{0}^{3}\left|2^x-4\right|dx$
Giải.
$2^x-4=0\Leftrightarrow x=2\in (0;3)$
$I=\left|\int\limits_{0}^{2}(2^x-4)dx\right|+\left|\int\limits_{2}^{3}(2^x-4)dx\right|$
$=\left|\left(\dfrac{2^x}{\ln 2}-4x\right)\Big|_{0}^{2}\right|+\left|\left(\dfrac{2^x}{\ln 2}-4x\right)\Big|_{2}^{3}\right|$
$=\left|\dfrac{3}{\ln 2}-8\right|+\left|\dfrac{4}{\ln 2}-4\right|=8-\dfrac{3}{\ln 2}+\dfrac{4}{\ln 2}-4=4+\dfrac{1}{\ln 2}$ .
Bài tập đề nghị.
Bài 1. Tính $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\cos x}dx$
ĐS: $I=4\sqrt{2}$
Bài 2. Tính $I=\int\limits_{-3}^{3}|x^2-1|dx$
ĐS: $I=\dfrac{44}{3}$
Bài 3. Tính $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}\dfrac{|1-x^2|}{1+x^2}dx$
ĐS: $I=\sqrt{3}-2+\dfrac{\pi}{3}$ .