Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị và thỏa mãn thêm các điều kiện khác

Bài toán Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị và thỏa mãn thêm các điều kiện khác $^*$
Để hỗ trợ các bạn chuẩn bị thi ĐH-CĐ, mathblog.org sẽ giới thiệu loạt bài giảng bám sát các kiến thức cơ bản trong kỳ thi ĐH-CĐ. Đây là bài giảng thứ nhất trong chuỗi bài giảng sẽ được giới thiệu ở đây.

A. Một số kết quả thường được vận dụng để giải bài toán
1. Cực trị hàm bậc 3: $y=ax^3+bx^2+cx+d, (a\neq 0)$ :
Hàm số có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình $y'=0$ .
2. Cực trị hàm bậc 4: $y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, (a\neq 0)$ :
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Nếu viết được $y'=(x-x_0)P(x)$ với $P(x)$ là tam thức bậc 2. Khi đó hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi $P(x_0)=0$ có nghiệm kép $x=x_0$ hoặc $\Delta_{P(x)}< 0$ .
3. Cực trị của hàm phân thức: $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$
HS có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ các điểm cực trị là nghiệm phương trình $y'=0$ .
4. Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì
$\begin{cases} S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}&\\ P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}& \end{cases}$
Hai biểu thức $S$ và $P$ được gọi là hai biểu thức đối xứng cơ bản giữa $x_1$ và $x_2$ . Mọi biểu thức đối xứng của $x_1, x_2$ đều có thể biểu diễn được theo $S$ và $P$ , chẳng hạn
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=S^3-3PS,...$
5. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ với một số thực $\alpha$
Trường hợp 1. $\alpha=0$
$f(x)=0$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2\Leftrightarrow P=\dfrac{c}{a}<0$
$f(x)=0$ có hai nghiệm $x_1<x_2<0\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta=b^2-4ac>0&\\ P=\dfrac{c}{a}>0&\\ S=-\dfrac{b}{a}<0& \end{cases}$
$f(x)=0$ có hai nghiệm $0<x_1<x_2\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta=b^2-4ac>0&\\ P=\dfrac{c}{a}>0&\\ S=-\dfrac{b}{a}>0& \end{cases}$
Trường hợp 2. $\alpha\neq 0$
Ta đưa về so sánh với số $0$ nhờ đặt $t=x-\alpha$ . Khi đó $f(x)=0$ có dạng $g(t)=0$ và ta có
$f(x)=0$ có hai nghiệm $x_1<\alpha<x_2\Leftrightarrow g(t)=0$ có hai nghiệm $t_1<0<t_2$
$f(x)=0$ có hai nghiệm $x_1<x_2<\alpha\Leftrightarrow g(t)=0$ có hai nghiệm $t_1<t_2<0$
$f(x)=0$ có hai nghiệm $\alpha<x_1<x_2\Leftrightarrow g(t)=0$ có hai nghiệm $0<t_1<t_2$
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3+(m-2)x^2+(5m+4)x+m^2+1$ đạt cực trị tại $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1<-1<x_2$ .
Giải.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=x^2+2(m-2)x+5m+4$
HS đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<-1<x_2\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm $x_1<-1<x_2$ .
Đặt $t=x+1$ . Khi đó $y'=0$ có dạng $g(t)=t^2+2(m-3)t+3m+9=0$
và $y'=0$ có nghiệm $x_1<-1<x_2\Leftrightarrow g(t)=0$ có hai nghiệm thỏa mãn $t_1<0<t_2\Leftrightarrow P=3m+9<0\Leftrightarrow m<-3$ .
Kết luận: $m<-3$ .
Chú ý: Trong Ví dụ 1 nếu giải bằng cách tính trực tiếp các nghiệm của $y'=0$ sau đó giải các BPT $x_1<-1<x_2$ thì sẽ rất phức tạp. Ngoài ra nếu giải theo cách trực tiếp này, ta cần làm theo hai bước: Bước thứ nhất tìm ĐK để HS có cực trị; bước thứ hai tìm ĐK để $x_1<-1<x_2$ .
Ví dụ 2. Tìm $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+mx-1$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|\geq 8$ .
Giải.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=x^2-2mx+m$
Hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2\Leftrightarrow \Delta=m^2-m>0\Leftrightarrow m>1$ hoặc $m<0$ (*)
Khi đó $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $y'=0$ . Theo ĐL Viet, ta có
$\begin{cases} x_1+x_2=2m&\\ x_1x_2=m& \end{cases}$
$|x_1-x_2|\geq 8\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2\geq 64\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2\geq 64$
$\Leftrightarrow 4m^2-4m-64\geq 0\Leftrightarrow m>\dfrac{1+\sqrt{65}}{2}$ hoặc $m<\dfrac{1-\sqrt{65}}{2}$
Kết hợp với ĐK (*), ta được $m>\dfrac{1+\sqrt{65}}{2}$ hoặc $m<\dfrac{1-\sqrt{65}}{2}$
Chú ý. Trong lời giải Ví dụ 2 thể hiện rõ hai bước: Bước 1 tìm ĐK để hàm số có CĐ, CT; bước hai tìm ĐK để $|x_1-x_2|\geq 8$ . Đối với bài toán này ta cũng không nên giải theo cách tính trực tiếp các nghiệm của $y'$ mà dùng định lý Viet cho đơn giản với chú ý là $|x_1-x_2|$ là một biểu thức đối xứng của $x_1,x_2$ .
C. Bài tập đề nghị
Bài 1.
Cho hàm số $y=x^3-(m-3)x^2+(4m-1)x-m$ . Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại các điểm $x_1, x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1<-2<x_2$ .
Bài 2.
Tìm $m$ để hàm số $y=-x^3+3(m+1)x^2-(3m^2+7m-1)x+m^2-1$ đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn $1$ .
Bài 3.
Cho hàm số $y=x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)$ . Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ sao cho $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)$ .