19/06/2013 4:50:19 PM

Bạn đang ở: Trang chủ / Bài giảng / Giải tích / Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tiếp theo bài giảng về tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, mathblog.org giới thiệu với bạn đọc bài giảng Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau

\int\limits_{a}^{b}f[u(x)]u'(x)dx=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}f(u)du (1)

trong đó u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y=f(u) liên tục và sao cho hàm số hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K.
Từ công thức (1), ta có hai cách đổi biến số sau:
Cách 1 (Phương pháp đổi biến kiểu II)
Giả sử ta cần tính \int\limits_{a}^{b}g(x)dx.
Nếu ta viết được g(x) dưới dạng f[u(x)]u'(x), thì theo (1) ta có
\int\limits_{a}^{b}g(x)dx=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}f(u)du
Vậy bài toán qui về tính \int\limits_{u(a)}^{u(b)}f(u)du, tích phân này sẽ đơn giản hơn.
Cách 2 (Phương pháp đổi biến kiểu I)
Giả sử cần tính \int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)dx.
Đặt x=x(t), (t\in K) và a,b\in K thỏa mãn \alpha=x(a), \beta=x(b), thì (1) cho ta
\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f[x(t)]x'(t)dt
Bài toán qui về tính \int\limits_{a}^{b}g(t)dt, với g(t)=f[x(t)]x'(t). Trong nhiều trường hợp, việc tính tích phân này đơn giản hơn.
Một số ví dụ về phương pháp đổi biến kiểu II
Ví dụ 1. Tính I_1=\int\limits_{0}^{\frac{22}{3}}\sqrt[3]{3x+5}dx
Giải.
Đặt u=3x+5\Rightarrow du=3dx
Đổi cận x=0\Rightarrow u=5;x=\dfrac{22}{3}\Rightarrow u=27
Vậy I_1=\dfrac{1}{3}\int\limits_{5}^{27}\sqrt[3]{u}du=\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt[3]{u^4}}{\frac{4}{3}}\Big|_{5}^{27}
=\dfrac{1}{4}(27\sqrt[3]{27}-5\sqrt[3]{5})=\dfrac{1}{4}(81-5\sqrt[3]{5}).
Ví dụ 2. Tính I_2=\int\limits_{0}^{1}x^3(1+x^4)^3dx
Giải
Đặt u=1+x^4\Rightarrow du=4x^3dx
Đổi cận x=0\Rightarrow u=1;x=1\Rightarrow u=2
Vậy I_2=\dfrac{1}{4}\int\limits_{1}^{2}u^3du=\dfrac{1}{4}\dfrac{u^4}{4}\Big|_{1}^{2}=\dfrac{1}{16}(2^4-1)=\dfrac{15}{16}
Ví dụ 3. Tính I_3=\int\limits_{0}^{1}x^2e^{3x^3}dx
Giải
Đặt u=3x^3\Rightarrow du=9x^2dx
Đổi cận x=0\Rightarrow u=0;x=1\Rightarrow u=3
Vậy I_3=\dfrac{1}{9}\int\limits_{0}^{3}e^udu=\dfrac{1}{9}e^u\Big|_{0}^{3}=\dfrac{1}{9}(e^3-1)
Ví dụ 4. Tính I_4=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{1+\cos x}dx
Giải.
Đặt u=1+\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx
Đổi cận x=0\Rightarrow u=2;x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=1
Vậy I_4=-\int\limits_{2}^{1}\dfrac{du}{u}=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{du}{u}=\ln|u|\Big|_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2.
Nhận xét: Các tích phân tính được bằng phương pháp đổi biến kiểu II được xem như các tích phân đã biết d(u(x)) là gì, chẳng hạn trong Ví dụ 1, d(u(x))=dx; trong Ví dụ 2, d(u(x))=x^3dx; trong Ví dụ 4, d(u(x))=\sin xdx. Nói cách khác, trong biểu thức dưới dấu tích phân nếu ta lấy vi phân của một thừa số thì được thừa số còn lại (sai khác một hằng số), chẳng hạn trong Ví dụ 4, d(1+\cos x)=-\sin xdx.
Một số ví dụ về phương pháp đổi biến kiểu I
Ví dụ 5. Tính I_5=\int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}dx, (a>0).
Giải.
Đặt x=a\sin t, t\in \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]
\Rightarrow dx=a\cos tdt
Đổi cận x=0\Rightarrow t=0;x=\dfrac{a}{2}\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{6}
Vậy I_5=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{a\cos tdt}{\sqrt{a^2\cos^2t}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{a\cos tdt}{a|\cos t|}
=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}}dt=\dfrac{\pi}{6}.
Ví dụ 6. Tính I_6=\int\limits_{0}^{a}\dfrac{dx}{a^2+x^2}, (a>0)
Giải.
Đặt x=a\tan t, t\in \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)
\Rightarrow dx=\dfrac{a}{\cos^2t}dt
Đổi cận x=0\Rightarrow t=0;x=a\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{4}
Vậy I_6=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{a}{\cos^2t}dt}{a^2+a^2\tan^2t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{a}{\cos^2t}dt}{a^2(1+\tan^2t)}=\dfrac{1}{a}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}dt=\dfrac{\pi}{4a}
Bài tập đề nghị
Bài 1. Tính I=\int\limits_{1}^{2}x(1-x)^5dx
ĐS: I=\dfrac{-13}{42}
Bài 2. Tính I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{3}}\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}}dx
ĐS: I=\dfrac{7\sqrt[3]{4}}{15}-\dfrac{2}{5}
Bài 3. Tính I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}x^5\sqrt{1+x^2}dx
ĐS: I=\dfrac{848}{105}
Bài 4. Tính I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin 2xdx}{4-\cos^2x}
ĐS: I=\ln\dfrac{4}{3}
Bài 5. Tính I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^2+x+1}
ĐS: I=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}.
Mời các bạn đón đọc tiếp bài giảng về tích phân của hàm lượng giác trên mathblog.org trong những ngày tới.

PDF Creator    Chia sẻ hoặc lưu trữ bài viết dưới định dạng file PDF:   
Mục: Giải tích Thẻ: Đăng bởi 3 phản hồi 13/06/2012 9:47:47 PM

Danh sách các phản hồi:

  1. minh viết:
    07/03/2013 7:22:49 PM at 7:22 pm

    Em chua hieu ve phan Doi can khi Doi bien, trong nhung bai don gian nhu 1/udu em thay khong Doi can, nhung o nhung bai phuc tap hon thi co. Vay khi dat bien u, chinh xac khi nao can Doi can va khi nao ko?

    Em moi hoc lop 11 nen mong anh/chi huong dan chi tiet. Em cam on.

    Reply
    • kvthanh viết:
      08/03/2013 1:42:40 AM at 1:42 am

      Khi nào đổi biến thì cần đổi cận. Em có thể xem ví dụ cụ đơn giản dưới đây:
      Tính \int_{0}^{1}(2x+3)^2dx ta có thể trình bày như sau:
      Cách 1. Đặt u=2x+3, du=2dx
      Đổi cận x=0 thì u=3, x=1 thi u=5
      I=\dfrac{1}{2}\int_3^5u^2du=\dfrac{u^3}{6}\Big|_3^5
      Cách 2. I=\dfrac{1}{2}\int_0^1(2x+3)^2d(2x+3)=\dfrac{(2x+3)^3}{6}\Big|_0^1

      Reply
  2. nguyễn huyền viết:
    08/08/2012 4:32:31 PM at 4:32 pm

    cách làm câu trên
    \int \frac{dx}{x^4-1}

    Reply

Công thức toán trên mathblog.org được gõ theo cú pháp: [latex] công thức[/latex] , ở đó "công thức" được viết dạng mã LaTeX. Nếu bạn chưa biết về LaTeX hãy click vào đây để xem hướng dẫn. Hoặc đơn giản hơn bạn có thể sử dụng công cụ tạo công thức trực tiếp trong khung dưới theo cách sau:
Bước 1. Bấm vào nút công thức cần viết, trong khung chữ nhật phía dưới sẽ hiện mã LaTeX của công thức và hình ảnh kết quả bên cạnh.
Bước 2. Sau khi soạn xong công thức, copy toàn bộ đoạn mã LaTeX trong khung chữ nhật và dán vào khung nội dung phản hồi. Chú ý là đặt công thức giữa hai thẻ [latex] ... [/latex]

Phản hồi của bạn

*

Đăng ký hiện ảnh đại diện khi gửi phản hồi tại đây

Bài viết cùng chuyên mục

Trang chủ | Giới thiệu | Liên hệ | Hỏi đáp | Sơ đồ trang | Đọc tin RSS