Về một bài toán cực trị hình học

Bài toán:
Cho hai điểm $A(1;1;0),B(3;-1;4)$ và đường thẳng
$d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{2}$
Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất.

Hướng dẫn.
Bài toán cực trị hình học này là một trong các dạng bài khó thuộc chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian.
Trước khi giải chi tiết Bài toán 2, chúng ta xét bài toán tổng quát: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A,B và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Để giải Bài toán tổng quát trên, ta xét các trường hợp sau:
TH1: Đường thẳng AB và d đồng phẳng.
Trong TH1 lại xét hai khả năng:
KN1: A,B nằm khác phía đối với d.

Khi đó $MA+MB\geq AB$ nên $MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M,A,B$ thẳng hàng. Suy ra $M=AB\cap d$ .
KN2: A,B nằm về cùng phía đối với d.

Khi đó gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d. Ta có $MA+MB=MA'+MB\geq A'B$ . Do đó MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M,A’,B thẳng hàng. Suy ra $M=A'B\cap d$ .
TH2. Đường thẳng AB và d không đồng phẳng.

Ta sẽ tiến hành giải Bài toán 2 luôn vì nó rơi vào TH này, sau đó sẽ rút ra phương pháp chung.
Giả sử $M\in d\Rightarrow M(-1+t;1-t;-2+2t)$ .
$MA=\sqrt{(t-2)^2+(-t)^2+(2t-2)^2}=\sqrt{6t^2-12t+8}$
$MB=\sqrt{6t^2-36t+56}$
Bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số
$f(t)=\sqrt{6t^2-12t+8}+\sqrt{6t^2-36t+56}$
Ta viết $f(t)=\sqrt{(\sqrt{6}t-\sqrt{6})^2+2}+\sqrt{(\sqrt{6}t-3\sqrt{6})^2+2}$
Đặt $\overrightarrow{u}=(\sqrt{6}t-\sqrt{6};\sqrt{2})$
$\overrightarrow{v}=(-\sqrt{6}t+3\sqrt{6};\sqrt{2})$
Khi đó ta có $f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
Suy ra $f(t)\geq \sqrt{(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng hay $\dfrac{\sqrt{6}t-\sqrt{6}}{-\sqrt{6}t+3\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}>0$
Tương đương t=2.
Vậy M(1;-1;2).
Bình luận: Trong cách giải trên ta sử dụng BĐT hình học
$f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
và mấu chốt để cách giải này luôn thực hiện được là do hệ số của $t^2$ trong hai biểu thức dưới căn luôn bằng nhau.
Chú ý khác là mọi tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ không âm trên $\mathbb{R}$ luôn viết được dưới dạng $f(x)=(\alpha x+\beta)^2+\gamma^2$ .
Bài tập thêm
Cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$ và hai điểm A(0;1;2), B(-1;2;3).
Tìm M thuộc d sao cho
1. $MA^2+MB^2$ nhỏ nhất.
2. $MA+MB$ nhỏ nhất.
3. $|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
4. $|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.